Question

4．如图所示的多面体ABCDE中，已知ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD⊥平面ABE，∠AEB=90°，AE=BE．
（Ⅰ）若M是DE的中点，试在AC上找一点N，使得MN∥平面ABE，并给出证明；
（Ⅱ）求多面体ABCDE的体积．

Answer 1

分析 （I）连结BD，交AC于点N，则点N即为所求，MN∥BE，由线线平行⇒线面平行；
（II）取AB的中点F，连接EF，求出EF，因为平面ABCD⊥平面ABE，交线为EF，证明EF为四棱锥E-ABCD的高，代入棱锥的体积公式计算．

解答 证明：（I）连结BD，交AC于点N，则点N即为所求，
证明如下：
∵ABCD为正方形，
∴N是BD的中点，又M是DE中点，
容易知道MN∥BE，
BE?平面ABE，
MN?平面ABE，
∴MN∥平面ABE
（Ⅱ）取AB的中点F，连接EF
因为△ABE是等腰直角三角形，并且AB=2
所以EF⊥AB，$EF=\frac{1}{2}AB=1$
∵平面ABCD⊥平面ABE，
平面ABCD∩平面ABE=AB，
EF?平面ABE，
∴EF⊥平面ABCD，即EF为四棱锥E-ABCD的高，
∴V_E-ABCD=$\frac{1}{3}{S_{ABCD}}•EF$=$\frac{1}{3}×{2^2}×1=\frac{4}{3}$

点评 本题考查了线面平行的证明，考查了棱锥的体积计算，考查了学生的空间想象能力能力与推理论证能力．