Question

如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是梯形，且AD=DC=CB=AB．直角梯形ACEF中，，是锐角，且平面ACEF⊥平面ABCD．

（1）求证：；
（2）试判断直线DF与平面BCE的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

（1）详见试题解析；（2）DF∥平面BCE．证明详见试题解析．

试题分析：（1）证明线线垂直，可转化为证明线面垂直．要证，只要证平面，由已知平面ACEF⊥平面ABCD，故由面面垂直的性质定理知，只要证．在等腰梯形ABCD中，由已知条件及平面几何相关知识，易得；（2）首先给出结论DF∥平面BCE，再给出证明．要证线面平行，由利用判定定理可以转化为证明线线平行，即只要在平面BCE找DF的平行线，或由面面平行的性质定理转化为证明面面平行，即过DF找一个平面与平面BCE平行，而后一种方法容易实施．
试题解析：（1）证明：取AB中点H，连结CH．底面ABCD是梯形，且AD=DC=CB=AB，易证四边形AHCD为平行四边形，
∴AD=HC=AB，= ，    3分
平面平面，且平面平面，平面，而平面，故．                              6分
（2）平面，以下证明：
取AC的中点M，连接DM，FM．在平面ABCD中，DM，BC⊥AC，故DM∥BC．      8分

在直角梯形ACEF中，，故FM∥EC．                     10分
而BC，CE平面BCE，BC∩CE=C，而DM，MF平面DMF，DM∩MF=M，故平面BCE∥平面DMF，DF平面DMF，从而，DF∥平面BCE．                        12分