Question

已知三点A（-1，0），B（1，0），C(-1，

3

2

)，曲线E过C点，且动点P在曲线E上运动，并保持|PA|+|PB|的值不变．
（I）求曲线E的方程；
（II）若C、M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）是曲线E上的不同三点，直线CM、CN的倾斜角互补．问直线MN的斜率是否是定值？如果是，求出该定值，如果不是，说明理由．

Answer 1

分析：（I）由于保持|PA|+|PB|的值不变，可知动点P到两个定点的距离和这常数，结合椭圆的定义知P点轨迹是椭圆，从而问题解决；
（II）对于探索性问题，可先设直线CM、CN方程，将直线的方程与椭圆的方程联立，消去y得到一个关于x的二次方程，利用根与系数的关系求出交点的坐标（用k表示），最后利用斜率公式求出直线MN的斜率看它是不是常数即可．

解答：解：（I）由题意知2a=|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=4＞2=|AB|=2c，（3分）
∴由定义得P点轨迹是椭圆，
且b²=a²-c²=3．
因此，曲线E的方程为

x2

4

+

y2

3

=1.（5分）
（II）由条件知直线CM，CN的斜率存在且不为0，
设直线CM的方程为y=k(x+1)+

3

2

，
由

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x+1)+ 3 2

消去y，
整理得（4k²+3）x²+4k（2k+3）x+4k²+12k-3=0
∵C在椭圆上，
∴方程两根为-1，x1∴-x1=

4k2+12k-3

4k2+3

，x1=-

4k2+12k-3

4k2+3

.（9分）
∵直线PM，PN的倾斜角互补，
∴直线PM，PN的斜率互为相反数，
∴x2=-

4k2-12k-3

4k2+3

.（11分）
则x1-x2=

-24k

4k2+3

，x1+x2=

6-8k2

4k2+3

.
又y1=k(x1+1)+

3

2

，y2=-k(x2+1)+

3

2

，
∴y1-y2=k(x1+x2+2)=k(

6-8k2

4k2+3

+2)=

12k

4k2+3

.
∴直线MN的斜率KMN=

y1-y2

x1-x2

=-

1

2

（定值）（13分）

点评：本题主要考查了椭圆的定义、轨迹方程、直线与圆锥曲线的综合问题等知识．属于基础题．