Question

P为椭圆＋＝1上任意一点，F₁、F₂为左、右焦点，如图所示．

(1)若PF₁的中点为M，求证：|MO|＝5－|PF₁|；

(2)若∠F₁PF₂＝60°，求|PF₁|·|PF₂|之值；

(3)椭圆上是否存在点P，使·＝0，若存在，求出P点的坐标， 若不存在，试说明理由

 

 

 

Answer 1

【答案】

(1)证明：在△F₁PF₂中，MO为中位线，

∴|MO|＝＝

＝a－＝5－|PF₁|.

(2)解：∵ |PF₁|＋|PF₂|＝10，

∴|PF₁|²＋|PF₂|²＝100－2|PF₁|·|PF₂|，

在△PF₁F₂中，cos 60°＝，

∴|PF₁|·|PF₂|＝100－2|PF₁|·|PF₂|－36，

∴|PF₁|·|PF₂|＝.

(3)解：设点P(x₀，y₀)，则＋＝1.①

易知F₁（-3，0），F₂（3，0），故PF₁＝(－3－x₀，－y₀)，

PF₂＝(－3－x₀，－y₀)，

∵PF₁·PF₂=0，∴－9＋＝0，②

由①②组成方程组，此方程组无解，故这样的点P不存在．

【解析】略