Question

已知两直线l₁：mx+8y+n=0和l₂：2x+my-1=0，试确定m，n的值，使
（1）l₁与l₂相交于点P（m，-1）；
（2）l₁∥l₂；
（3）l₁⊥l₂，且l₁在y轴上的截距为-1．

Answer 1

分析：（1）将点P（m，-1）代入两直线方程，解出m和n的值．
（2）由 l₁∥l₂得斜率相等，求出 m 值，再把直线可能重合的情况排除．
（3）先检验斜率不存在的情况，当斜率存在时，看斜率之积是否等于-1，从而得到结论．

解答：解：（1）将点P（m，-1）代入两直线方程得：m²-8+n=0 和 2m-m-1=0，
解得 m=1，n=7．
（2）由 l₁∥l₂ 得：m²-8×2=0，m=±4，
又两直线不能重合，所以有 8×（-1）-mn≠0，对应得 n≠2m，
所以当 m=4，n≠-2 或 m=-4，n≠2 时，L₁∥l₂．
（3）当m=0时直线l₁：y=-

n

8

和 l₂：x=

1

2

，此时，l₁⊥l₂，-

n

8

=-1?n=8．
当m≠0时此时两直线的斜率之积等于

1

4

，显然 l₁与l₂不垂直，
所以当m=0，n=-8时直线 l₁ 和 l₂垂直，且l₁在y轴上的截距为-1．

点评：本题考查两直线平行、垂直的性质，两直线平行，斜率相等，两直线垂直，斜率之积等于-1，注意斜率相等的两直线可能重合，要进行排除．