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(本小题满分14分) 已知函数处取得极值。

(Ⅰ)求函数的解析式;

(Ⅱ)求证:对于区间上任意两个自变量的值,都有

(Ⅲ)若过点可作曲线的三条切线,求实数的取值范围。

 

【答案】

(Ⅰ)

(Ⅱ)略

(Ⅲ)所求的实数a的取值范围是  

【解析】(Ⅰ),依题意,,     …………………………………1分

,解得      …………………………………3分

经检验符合。

(Ⅱ)

时,,故在区间上为减函数,

              ………………………………5分

∵对于区间上任意两个自变量的值

都有

  …………………………………7分

(Ⅲ)

 ∵曲线方程为,∴点不在曲线上,

设切点为M(x0,y0),则点M的坐标满足

,故切线的斜率为

整理得

∵过点A(1,m)可作曲线的三条切线,

∴关于的方程有三个实根。                …………………………………9分

,则

,得

上单调递增,在(0,1)上单调递减。

∴函数的极值点为        …………………………………11分

∴关于方程有三个实根的充要条件是

,解得

故所求的实数a的取值范围是                       …………………………………14分

 

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(2011•广东模拟)(本小题满分14分 已知函数f(x)=
3
sin2x+2sin(
π
4
+x)cos(
π
4
+x)

(I)化简f(x)的表达式,并求f(x)的最小正周期;
(II)当x∈[0,
π
2
]  时,求函数f(x)
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⑴ 求满足的关系式;

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