Question

【题目】（江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试数学试题）已知函数f(x)＝lnx－ax＋a，a∈R．

（1）若a＝1，求函数f(x)的极值；

（2）若函数f(x)有两个零点，求a的范围；

（3）对于曲线y＝f(x)上的两个不同的点P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))，记直线PQ的斜率为k，若y＝f(x)的导函数为f ′(x)，证明：f ′()＜k．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）（3）见解析

【解析】分析：（1）求极值可先求导分析函数的单调区间从而确定极值点求极值；（2）由（1）可知当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调增，不可能有两个零点；故只需讨论当a＞0时的零点情况，当a＞0时，函数有极大值， 令（x＞0），求导分析单调性结合零点定理进行证明即可；（3）由斜率计算公式得 ，而 ，将看成一个整体构造函数（），分析其最大值即可.

解：（1），，

当时，，在上单调递增，无极值；

当时， ，在上单调递增；

，在上单调递减，

函数有极大值，无极小值．

（2）由（span>1）可知当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调增，不可能有两个零点；

当a＞0时，函数有极大值，

令（x＞0）， ，

，，在(0，1)上单调递减；

，，在(1，＋∞)上单调递增，

函数有最小值．

要使若函数有两个零点时，必须满足，

下面证明时，函数有两个零点．

因为，

所以下面证明还有另一个零点．

①当时，，

，

令()，，

在上单调递减，，则，

所以在上有零点，又在上单调递减，

所以在上有惟一零点，从而有两个零点．

②当时，，

，

易证，可得，

所以在上有零点，又在上单调递减，

所以在上有惟一零点，从而有两个零点．

综上，的范围是．

（3）证明：，

，

又，，

不妨设0＜x2＜x1， t＝，则t＞1，

则．

令（），

则，

因此h(t)在(1，＋∞)上单调递减，所以h(t)＜h(1)＝0.

又0＜x2＜x1，所以x1－x2＞0，

所以f ′()－k＜0，即f ′()＜k．