Question

17．若函数f（x）=（1-$\frac{1}{4}$x²）（x²+ax+b）的图象关于直线x=-1对称，则f（x）的最大值为4．

Answer 1

分析 由题意得f（0）=f（-2）=0且f（-4）=f（2）=0，由此求出a=4且b=0，可得f（x）=-$\frac{1}{4}$x⁴-x³+x²+4x．利用导数研究f（x）的单调性，可得到f（x）的最大值．

解答 解：∵函数f（x）=（1-$\frac{1}{4}$x²）（x²+ax+b）的图象关于直线x=-1对称，
∴f（0）=f（-2）=0且f（-4）=f（2）=0，
即b=0且（1-4）[（-4）²+a•（-4）+b]=0，
解之得a=4，b=0，
因此，f（x）=（1-$\frac{1}{4}$x²）（x²+4x）=-$\frac{1}{4}$x⁴-x³+x²+4x，
求导数，得f′（x）=-x³-3x²+2x+4=-（x+1）（x+1+$\sqrt{5}$）（x+1-$\sqrt{5}$）
当x∈（-∞，-1-$\sqrt{5}$）∪（-1，-1+$\sqrt{5}$）时，f'（x）＞0，
当x∈（-1-$\sqrt{5}$，-1）∪（-1+$\sqrt{5}$，+∞）时，f'（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，-1-$\sqrt{5}$）单调递增，在（-1-$\sqrt{5}$，-1）单调递减，在（-1，-1+$\sqrt{5}$）单调递增，在（-1+$\sqrt{5}$，+∞）单调递减，
故当x=-1-$\sqrt{5}$和x=-1+$\sqrt{5}$时取极大值，f（-1-$\sqrt{5}$）=f（-1+$\sqrt{5}$）=4．
故答案为：4．

点评 本题给出多项式函数的图象关于x=-1对称，求函数的最大值．着重考查了函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性和函数的最值求法等知识，属于中档题．