Question

已知曲线C:y=x²(x＞0),过C上的点A₁(1,1)作曲线C的切线l₁交x轴于点B₁,再过点B₁作y轴的平行线交曲线C于点A₂,再过点A₂作曲线C的切线l₂交x轴于点B₂,再过点B₂作y轴的平行线交曲线C于点A₃,…,依次作下去,记点A_n的横坐标为a_n(n∈N^*).

(1)求数列{a_n}的通项公式;

(2)设数列{a_n}的前n项和为S_n,求证:a_nS_n≤1;

(3)求证:≤.

Answer 1

(1)解:∵曲线C在A_n(a_n,a_n²)处的切线l_n的斜率是2a_n,

∴切线l_n的方程是y-a_n²=2a_n(x-a_n).                                         

由于点B_n的横坐标等于点A_n+1的横坐标a_n+1,

所以,令y=0,得a_n+1=a_n.                                               

∴数列{a_n}是首项为1,公比为的等比数列.

∴a_n=.                                                          

(2)证明:∵S_n==2(1-),

∴a_nS_n=4×(1-).                                                 

令t=,则0＜t≤,

∴a_nS_n=4t(1-t)=-4(t-)²+1.                                              

∴当t=,即n=1时,-4(t-)²+1有最大值1,即a_nS_n≤1.                        

(3)证明:∵S_k≥a_k,k∈N^*,

∴a_kS_k≥a_k²,即≤.                                                

∵数列{}是首项为1,公比为4的等比数列,

∴≤==.