Question

已知点F₁，F₂分别是椭圆为C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点，过点F₁（-c，0）作x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P，过点F₂作直线PF₂的垂线交直线x=

a2

c

于点Q，若直线PQ与双曲线

x2

4

-

y2

3

=1的一条渐近线平行，则椭圆的离心率为（　　）

• A．

  3

  -1
• B．

  3

  3

• C．

  3

  2

• D．

  5

  3

Answer 1

分析：将点P（-c，y₁）（y₁＞0）代入C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，得P（-c，

b2

a

），由过点F₂作直线PF₂的垂线交直线x=

a2

c

于点Q，PF₂⊥QF₂，得Q（

a2

c

，2a），由直线PQ与双曲线

x2

4

-

y2

3

=1的一条渐近线平行，知

2a- b2 a

a2 c +c

=

3

2

，由此能求出结果．

解答：解：将点P（-c，y₁）（y₁＞0）代入C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
得y1=

b2

a

，
∴P（-c，

b2

a

），
∵过点F₂作直线PF₂的垂线交直线x=

a2

c

于点Q，PF₂⊥QF₂，
∴设Q（

a2

c

，y），得

b2 a

-2c

•

y

a2 c -c

=-1，解得y=2a，∴Q（

a2

c

，2a），
∵直线PQ与双曲线

x2

4

-

y2

3

=1的一条渐近线平行，
∴

2a- b2 a

a2 c +c

=

3

2

，即4a-

2b2

a

=

3

c+

3 a2

c

，
整理，得2e³-

3

e2+2e-

3

=0，
解得e=

3

2

．
故选C．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查导数知识的运用，综合性强．解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．