Question

袋中有红球和黄球若干个，从中任摸一球，摸得红球的概率为p，摸得黄球的概率为q．若从中任摸一球，放回再摸，第k次摸得红球，则记a_k=1，摸得黄球，则记a_k=一1．令S_n=a₁+a₂+…+a_n．
（Ⅰ）当p=q=

1

2

时，求S₆≠2的概率；
（Ⅱ）当p=

1

3

，q=

2

3

时，求S₈=2且S_i≥0（i=1，2，3）的概率．（结果均用分数表示）

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出S₆=2时的概率，由于2只能分解成4个1与2个-1的代数和，故而前6次摸球中，有4次摸到红球，有2次摸到黄球
，即S₆=2的概率为

C

4 6

(

1

2

)4•(

1

2

)2=

15

64

，则S₆≠2的概率为1-

15

64

=

49

64

（Ⅱ）本问可分为三种情况：①若第一、二次摸到红球，第三次摸到黄球，后五次有3次摸到红球；②若第一、三次摸到红球，第二次摸到黄球，后五次有3次摸到红球；③若第一、二、三次摸到红球，后五次有两次摸到红球，故而所求的概率即为三种情况之和

解答：解：（Ⅰ）由题意得：
若S₆=2，前6次摸球中，有4次摸到红球，有2次摸到黄球
∴故S₆=2的概率为

C

4 6

(

1

2

)4•(

1

2

)2=

15

64

∴S₆≠2的概率为P1=1-

15

64

=

49

64

（Ⅱ）当S₈=2时，即前8次中有5次摸到红球，有3次摸到黄球，
又已知S_i≥0（i=1，2，3），故可分为三种情况．
①若第一、二次摸到红球，第三次摸到黄球，后五次有3次摸到红球；
②若第一、三次摸到红球，第二次摸到黄球，后五次有3次摸到红球；
③若第一、二、三次摸到红球，后五次有两次摸到红球
∴所求概率为P=(

1

3

)2•(

2

3

)•

C

3 5

(

1

3

)3(

2

3

)2+

1

3

•

2

3

•

1

3

•

C

3 5

(

1

3

)3(

2

3

)2+(

1

3

)3•

C

2 5

(

1

3

)2(

2

3

)3=

80

37

（或

80

2187

）

点评：本题考查了n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，互斥事件的概率加法公式，还有待定系数法求解s_n分解，属于基础题．