Question

2．已知x≥1，y≥1，且x+y≤3，若不等式3x²+2xy≥ky（x-y）恒成立，则实数k的最大值为16．

Answer 1

分析 画出不等式组表示的平面区域，求得t=$\frac{y}{x}$∈[$\frac{1}{2}$，2]，由题意可得3+2•$\frac{y}{x}$≥k（$\frac{y}{x}$-$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}}$），即为3+2t≥k（t-t²），讨论t=1，当1＜t≤2时，当$\frac{1}{2}$≤t＜1时，运用参数分离和函数的单调性，求得最值，即可得到所求k的范围．

解答 解：x≥1，y≥1，且x+y≤3，
如图所示为（x，y）的可行域，
即有$\frac{y}{x}$=$\frac{y-0}{x-0}$表示点（x，y）与原点的斜率，
由图形可得A（1，2），B（2，1），
可得k_OA=2，k_OB=$\frac{1}{2}$，
即有t=$\frac{y}{x}$∈[$\frac{1}{2}$，2]，
不等式3x²+2xy≥ky（x-y）恒成立，
即有3+2•$\frac{y}{x}$≥k（$\frac{y}{x}$-$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}}$），
即为3+2t≥k（t-t²），
t=1时，3＞0显然成立；
当1＜t≤2时，即有-k≤$\frac{3+2t}{{t}^{2}-t}$的最小值，
由$\frac{3+2t}{{t}^{2}-t}$的导数为$\frac{-（2{t}^{2}+6t-3）}{（{t}^{2}-t）^{2}}$，
当1＜t≤2时，2t²+6t-3＞0恒成立，
即有y=$\frac{3+2t}{{t}^{2}-t}$在（1，2]递减，则t=2取得最小值为$\frac{7}{2}$，
即有-k≤$\frac{7}{2}$，即k≥-$\frac{7}{2}$①
当$\frac{1}{2}$≤t＜1时，-k≥$\frac{3+2t}{{t}^{2}-t}$的最大值，
由$\frac{3+2t}{{t}^{2}-t}$的导数为$\frac{-（2{t}^{2}+6t-3）}{（{t}^{2}-t）^{2}}$，
当$\frac{1}{2}$≤t＜1时，2t²+6t-3＞0恒成立，
即有y=$\frac{3+2t}{{t}^{2}-t}$在[$\frac{1}{2}$，1）递减，则t=$\frac{1}{2}$取得最大值为-16，
即有-k≥-16，即k≤16②
由①②可得k的范围是[-$\frac{7}{2}$，16]．
故答案为：16．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用转化思想和函数的最值的求法，同时考查不等式表示的平面区域的应用，属于中档题．