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已知函数f(x)=
1
3
x3-
1
2
ax2+
9
2
(a>0)

(1)当a=3时,求f(x)的单调递增区间;
(II)求证:曲线y=f(x)总有斜率为a的切线;
(III)若存在x∈[-1,2],使f(x)<0成立,求a的取值范围.
分析:(Ⅰ)求出导函数,令导函数大于0求出x的范围,写成区间即为f(x)的单调递增区间;
(II)求出导函数,令f′(x)=x2-ax=a,因为判别式大于0恒成立,方程x2-ax-a=0对任意正数a都有解,得到证明.
(III)求出导函数,令导函数等于0求出根,通过对a的分类讨论得到根a在已知区间内函数的最小值大于0恒成立,所以此时不存在x∈[-1,2],使f(x)<0成立,当根a不在区间内求出f(x)的最小值,令最小值小于0求出a的范围即可.
解答:解:(Ⅰ)当a=3时,
1
3
x3-
3
2
x2+
9
2

f′(x)=x2-3x,
令f′(x)=x2-3x>0解得x<0或x>3.
所以f(x)的单调递增区间(-∞,0),(3,+∞).
(II)f′(x)=x2-ax,
令f′(x)=x2-ax=a,即x2-ax-a=0,
因为a>0,
所以△=a2+4a>0恒成立,
所以方程x2-ax-a=0对任意正数a都有解,
所以曲线y=f(x)总有斜率为a的切线;
由(II)知,f′(x)=x2-ax,
令f′(x)=x2-ax=0得x1=0或x2=a,
因为a>0,所以当0<a<2时,x,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

因为
25-3a
6
>0,
27-a3
6
>0

所以,对应任意x∈[-1,2],f(x)>0,即此时不存在x∈[-1,2],使f(x)<0成立,
当a≥2时,x,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

因为
25-3a
6
-
43-12a
6
=
3a-6
2
≥0

所以函数f(x)在[-1,2]上的最小值是
43-12a
6

因为存在x∈[-1,2],使f(x)<0成立,
所以
43-12a
6
<0

所以a
43
12

所以a 的取值范围为(
43
12
,+∞)
点评:本题考查利用导函数求函数的单调区间;利用导函数解决曲线的切线的斜率问题;通过导函数求函数的最值问题,属于一道综合题.
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已知函数f(x)=
1
|x|
,g(x)=1+
x+|x|
2
,若f(x)>g(x),则实数x的取值范围是(  )
A、(-∞,-1)∪(0,1)
B、(-∞,-1)∪(0,
-1+
5
2
)
C、(-1,0)∪(
-1+
5
2
,+∞)
D、(-1,0)∪(0,
-1+
5
2
)

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1,x∈Q
0,x∉Q
,则f[f(π)]=(  )

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1-x
ax
+lnx(a>0)

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1
2
,2
]上的最大值和最小值;
(3)当a=1时,求证对任意大于1的正整数n,lnn>
1
2
+
1
3
+
1
4
+
+
1
n
恒成立.

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π
6
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