Question

如图，已知点P是正方形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，PA=AB，点E、F分别在线段PB、AC上，满足BE=CF．
（1）求PD与平面ABCD所成的角的大小；
（2）求平面PBD与平面ABCD所成角的正切值．
（3）求证：EF⊥CD．

Answer 1

分析：（1）要求PD与平面ABCD所成的角，必须找到直线PD在平面ABCD内的射影；（2）要求平面PBD与平面ABCD所成角的正切值，找到该二面角的平面角，根据二面角的平面角的定义即可找到该角；（3）过点E作EH∥PA，交AB于H，连接FH，要证EF⊥CD．只需证CD⊥平面EFH，

解答：解：（1）∵PA⊥平面ABCD，
∴∠PDA是PD与平面ABCD所成角
又PA=AB=AD
∴∠PDA=45°，
∴PD与平面ABCD所成的角为45°
（2）连接BD交AC于O，连接PO，
则AC⊥BD，
∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PA⊥BD，而PA∩AC=A，
∴BD⊥面PAC，又PO?面PAC，
∴BD⊥PO，
∴∠AOP就是平面PBD与平面ABCD所成角，
在Rt△AOP中，tan∠AOP=

PA

AO

=

2

；
（3）过点E作EH∥PA，交AB于H，连接FH，
则

BE

BP

=

BH

BA

，
∵BE=CF，BP=AC，∴

BE

BP

=

CF

AC

，∴

BH

BA

=

CF

CA

∴FH∥AD，
∵AD⊥CD，∴CD⊥FH  又PA⊥CD，∴CD⊥EH
∴CD⊥平面EFH，
∴EF⊥CD．

点评：考查直线与平面所成的角，二面角以及线面垂直的性质定理，在求空间角时，难点是找到线面角和二面角的平面角，把空间角转化为平面角来求解，体现了转化的思想方法，属中档题．