Question

设椭圆M：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，长轴长为6

2

，设过右焦点F．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）设过右焦点F倾斜角为θ的直线交椭M于A，B两点，求证|AB|=

6 2

1+sin2θ

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题意中的离心率，长轴长及a，b和c的关系联立方程可求得a和b，进而可求得椭圆M的方程．
（Ⅱ）当θ≠

π

2

设直线AB的斜率为k=tanθ，进而可得直线方程，与椭圆方程联立消去y，设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）进而根据韦达定理可求得x₁+x₂和x₁x₂，进而表示出|AB|把tanθ代入化简得|AB|=

6 2

1+sin2θ

，最后再看当θ=

π

2

时也符合，进而原式得证．

解答：解：（Ⅰ）依题意可得

2a=6 2 c a = 2 2 b2=a2-c2

解得a=3

2

，c=3，b=3
∴所求椭圆M的方程为

x2

18

+

y2

9

=1
（Ⅱ）当θ≠

π

2

，设直线AB的斜率为k=tanθ，焦点F（3，0），则直线AB的方程为
y=k（x-3）有

y=kx-3k x2 18 + y2 9 =1

消去y得
（1+2k²）x²-12k²x+18（k²-1）=0
设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）有x₁+x₂=

12k2

1+2k2

，x₁x₂=

18(k2-1)

1+2k2

|AB|=

(1+k2)[( 12k2 1+2k2 ) 2-4× 18(k2-1) 1+2k2 ]

=

6 2 (1+k2)

1+2k2

又因为k=tanθ=

sinθ

cosθ

代入上式得
|AB|=

6 2

1+sin2θ

当θ=

π

2

时，直线AB的方程为x=3，此时|AB|=3

2

而当θ=

π

2

时，AB|=

6 2

1+sin2θ

=3

2

综上所述所以|AB|=|=

6 2

1+sin2θ

点评：本题主要考查了椭圆的应用以及椭圆与直线的关系．在设直线方程的时候，一定要考虑斜率不存在时的情况，以免答案不全面．