Question

8．已知椭圆G：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，与x轴不重合的直线l经过左焦点F₁，且与椭圆G相交于A，B两点，弦AB的中点为M，直线OM与椭圆G相交于C，D两点．
（1）若直线l的斜率为1，求直线OM的斜率；
（2）是否存在直线l，使得|AM|²=|CM|•|DM|成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意，求出直线l的方程，设出A、B的坐标，联立直线与椭圆的方程，可得A、B的坐标，可得其中点M的坐标，即可得直线OM的斜率；
（2）假设存在直线l，使得|AM|²=|CM|•|DM|成立，讨论直线斜率情况，可设直线l的方程为y=k（x+1）（k≠0），联立直线与椭圆G的方程，分析可得是否满足题意，即可得答案．

解答 解：（1）由已知可知F₁（-1，0），又直线l的斜率为1，所以直线l的方程为y=x+1，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}y=x+1\\ \frac{x^2}{2}+{y^2}=1\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x_1}=0\\{y_1}=1\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x_2}=-\frac{4}{3}\\{y_2}=-\frac{1}{3}.\end{array}\right.$，
所以AB中点$M（-\frac{2}{3}，\frac{1}{3}）$，
于是直线OM的斜率为$\frac{{\frac{1}{3}}}{{-\frac{2}{3}}}=-\frac{1}{2}$．
（2）假设存在直线l，使得|AM|²=|CM|•|DM|成立．
当直线l的斜率不存在时，AB的中点M（-1，0），
所以$|AM|=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，$|CM|•|DM|=（\sqrt{2}-1）（\sqrt{2}+1）=1$，矛盾；
故直线的斜率存在，可设直线l的方程为y=k（x+1）（k≠0），
联立椭圆G的方程，得（2k²+1）x²+4k²x+2（k²-1）=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则${x_1}+{x_2}=-\frac{{4{k^2}}}{{2{k^2}+1}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{2（{k^2}-1）}}{{2{k^2}+1}}$，
于是$\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}=k•（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}+1）=k•（-\frac{{2{k^2}}}{{2{k^2}+1}}+1）=\frac{k}{{2{k^2}+1}}$，
点M的坐标为$（-\frac{{2{k^2}}}{{2{k^2}+1}}，\frac{k}{{2{k^2}+1}}）$，$|AB|=\sqrt{（1+{k^2}）{{（{x_1}-{x_2}）}^2}}=\sqrt{1+{k^2}}•\sqrt{{{（-\frac{{4{k^2}}}{{2{k^2}+1}}）}^2}-4•\frac{{2（{k^2}-1）}}{{2{k^2}+1}}}=\frac{{2\sqrt{2}•（1+{k^2}）}}{{2{k^2}+1}}$．
直线CD的方程为$y=-\frac{1}{2k}•x$，联立椭圆G的方程，得${x^2}=\frac{{4{k^2}}}{{2{k^2}+1}}$，
设C（x₀，y₀），则$|OC{|^2}={x_0}^2+{y_0}^2=（1+\frac{1}{{4{k^2}}}）{x_0}^2=\frac{{4{k^2}+1}}{{2{k^2}+1}}$，
由题知，|AB|²=4|CM|•|DM|=4（|CO|+|OM|）（|CO|-|OM|）=4（|CO|²-|OM|²），
即$\frac{{8{{（1+{k^2}）}^2}}}{{{{（2{k^2}+1）}^2}}}=4（\frac{{4{k^2}+1}}{{2{k^2}+1}}-\frac{{{k^2}（4{k^2}+1）}}{{{{（2{k^2}+1）}^2}}}）$，
化简，得${k^2}=\frac{1}{2}$，故$k=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
所以直线l的方程为$y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}（x+1）$，$y=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}（x+1）$．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及直线问题注意分析直线的斜率是否存在．