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【题目】已知直线 x+y﹣ =0经过椭圆C: + =1(a>b>0)的右焦点和上顶点.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过点(0,﹣2)的直线l与椭圆C交于不同的A,B两点,若∠AOB为钝角,求直线l的斜率k的取值范围.

【答案】
(1)解:由直线 x+y﹣ =0,分别令y=0,x=0,可得椭圆右焦点(1,0),上顶点(0, ).

∴c=1,b= ,a= =2.

∴椭圆C的标准方程为: =1.


(2)解:由题意可知:直线l的斜率垂直,可设直线l的方程为:y=kx﹣2.A(x1,y1),B(x2,y2).

联立 ,化为(4k2+3)x2﹣16kx+4=0,

∵△>0,∴k2

又x1+x2= ,x1x2=

∵∠AOB为钝角,∴ <0,

∴x1x2+y1y2<0,x1x2+(kx1﹣2)(kx2﹣2)<0,化为:(1+k2)x1x2﹣2k(x1+x2)+4<0,

∴(1+k2)× ﹣2k× +4<0,化为k2 .解得 ,或k

∴直线l的斜率k的取值范围是


【解析】(1)由直线 x+y﹣ =0,分别令y=0,x=0,可得椭圆右焦点(1,0),上顶点(0, ).又a= ,即可得出.(2)由题意可知:直线l的斜率垂直,可设直线l的方程为:y=kx﹣2.A(x1 , y1),B(x2 , y2).与椭圆方程联立化为(4k2+3)x2﹣16kx+4=0,△>0,可得k2 .由∠AOB为钝角,∴ <0,利用数量积运算性质、根与系数的关系即可得出.

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