Question

已知定义在R上的奇函数f（x）满足：当x＞0时，f（x）=2^x+1．
（Ⅰ）写出x≤0时函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）当x∈[1，2]时，不等式f（4^x）+f（a-5×2^x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）由题意可得当x＜0时，-f（x）=f（-x）=2^-x+1，变形可得解析式，结合f（0）=0易得；
（Ⅱ）问题转化为a≥5×2^x-4^x在x∈[1，2]恒成立，换元由二次函数区间的最值可得．

解答： 解：（Ⅰ）∵当x＞0时，f（x）=2^x+1，
∴当x＜0时-x＞0，∴f（-x）=2^-x+1．
又∵f（x）为R上的奇函数，∴f（0）=0，
∴-f（x）=f（-x）=2^-x+1，∴f（x）=-2^-x-1，
∴当x≤0时，f（x）的解析式为f（x）=

0，x=0 -2-x-1，x＜0

．
（Ⅱ）∵f（x）为R上的奇函数，
∴原不等式可化为f（4^x）≥-f（a-5×2^x），即f（4^x）≥f（5×2^x-a），
又易判函数f（x）在R上是增函数，
∴不等式可化为4^x≥5×2^x-a，即a≥5×2^x-4^x在x∈[1，2]恒成立，
只需求出5×2^x-4^x在x∈[1，2]的最大值即可，
令y=5×2^x-4^x=-（2^x）²+5×2^x，
令t=2^x，则t∈[2，4]，则y=-t²+5t，
由二次函数可知当t=

5

2

时，函数y=-t²+5t取最大值

25

4

，
∴实数a的取值范围为a≥

25

4

点评：本题考查函数的奇偶性，涉及函数恒成立和二次函数区间的最值，属中档题．