Question

已知圆C₁的圆心在坐标原点O，且恰好与直线l₁：x-y-2

2

=0相切．
（Ⅰ）求圆的标准方程；
（Ⅱ）设点A（x₀，y₀）为圆上任意一点，AN⊥x轴于N，若动点Q满足

OQ

=m

OA

+n

ON

，（其中m+n=1，m，n≠0，m为常数），试求动点Q的轨迹方程C₂；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的结论下，当m=

3

2

时，得到曲线C，问是否存在与l₁垂直的一条直线l与曲线C交于B、D两点，且∠BOD为钝角，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据圆与直线l₁：x-y-2

2

=0相切，利用点到直线的距离，求出圆的半径，从而可求圆C₁的方程；
（Ⅱ）设出点的坐标，利用向量条件，确定动点坐标之间的关系，利用A为圆上的点，即可求得动点Q的轨迹方程C₂；
（Ⅲ）m=

3

2

时，曲线C方程为

x2

4

+

y2

3

=1，假设直线l的方程，与椭圆

x2

4

+

y2

3

=1联立，利用韦达定理及向量条件，利用数量积小于0，即可得到结论．

解答：解：（Ⅰ）设圆的半径为r，圆心到直线l₁距离为d，则d=

|-2 2 |

12+12

=2…（2分）
所以圆C₁的方程为x²+y²=4…（3分）
（Ⅱ）设动点Q（x，y），A（x₀，y₀），AN⊥x轴于N，N（x₀，0）
由题意，（x，y）=m（x₀，y₀）+n（x₀，0），所以

x=(m+n)x0=x0 y=my0

…（5分）
即：

x0=x y0= 1 m y

，将A(x，

1

m

y)代入x²+y²=4，得

x2

4

+

y2

4m2

=1…（7分）
（Ⅲ）m=

3

2

时，曲线C方程为

x2

4

+

y2

3

=1，假设存在直线l与直线l₁：x-y-2

2

=0垂直，
设直线l的方程为y=-x+b…（8分）
设直线l与椭圆

x2

4

+

y2

3

=1交点B（x₁，y₁），D（x₂，y₂）
联立得：

y=-x+b 3x2+4y2=12

，得7x²-8bx+4b²-12=0…（9分）
因为△=48（7-b²）＞0，解得b²＜7，且x1+x2=

8b

7

，x1x2=

4b2-12

7

…（10分）
∴

OD

•

OB

=x1x2+y1y2=x1x2+(b-x1)(b-x2)=2x1x2-b(x1+x2)+b2
=

8b2-24

7

-

8b2

7

+b2=

7b2-24

7

…（12分）
因为∠BOD为钝角，所以

7b2-24

7

＜0且b≠0，
解得b2＜

24

7

且b≠0，满足b²＜7
∴-

2 42

7

＜b＜

2 42

7

且b≠0，
所以存在直线l满足题意…（14分）

点评：本题考查圆的标准方程，考查代入法求轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，解题的关键是直线与椭圆方程联立，利用韦达定理进行求解．