Question

某地区举行环保知识大赛，比赛分初赛和决赛两部分，初赛采用选用选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题直接进入决赛，答错3次者则被淘汰，已知选手甲连续两次答错的概率为

1

9

（已知甲回答每个问题的正确率相同，且相互之间没有影响）
（I）求甲选手回答一个问题的正确率；
（II）求选手甲进入决赛的概率；
（III）设选手甲在初赛中的答题的个数为ξ，试求ξ的分布列，并求出ξ的数学期望．

Answer 1

分析：（I）甲答对一个问题的正确率为P₁由题意，(1-P 1)2=

1

9

，解方程求出正答率
（II）由题意进入决赛至少答对三道题，故进行决赛分为三类事件，答对三题入决赛，四题入决赛，五题入决赛，分别算出这三个事件的概率，求其和即可；
（III）ξ的取值为3，4，5，对应的事件分别是前三个题全部答对，前四个题答对了三个，其中第四题一定对，前五个题答对了三个，第五个一定答对，分别求出它们的概率，列出分布列，求出期望．

解答：解：（I）设甲答对一个问题的正确率为P₁
由题意：(1-P)2=

1

9

?P=

2

3

所以，甲答对一个问题的正确率为

2

3

…（3分）
（II）甲答了3道题进入决赛的概率为(

2

3

)3=

8

27

甲答了4道题进入决赛的概率为

C

2 3

(

2

3

)2(

1

3

)=

8

27

甲答了5道题进入决赛的概率为

C

2 4

(

2

3

)3(

1

3

)2=

16

81

故选手甲进入决赛的概率为

8

27

+

8

27

+

16

81

=

64

81

所以，选手甲进入决赛的概率为

64

81

．…（7分）
（III）ξ的取值为3，4，5，其中
P(ξ=4)=

C

2 3

(

2

3

)3(

1

3

)+

C

2 3

(

1

3

)2•

2

3

•

1

3

=

10

27

P(ξ=5)=

C

2 4

(

2

3

)2(

1

3

)2=

8

27

P(ξ=3)=1-

8

27

-

10

27

=

1

3

所以，ξ的分布列为
其数学期望为Eξ=3×

1

3

+4×

10

27

+5×

8

27

=

107

27

点评：本题考查离散型随机变量的分布列与期望，解题的关键是根据概率公式求出分布列，再由求期望的公式求出期望．