Question

函数f( x )=2x-

a

x

的定义域为（0，1]（a为实数）．
（1）当a=-1时，求函数y=f（x）的值域；
（2）若函数y=f（x）在定义域上是减函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先根据a的值求出函数f（x）的解析式，然后利用基本不等式求出函数y=f（x）的最小值，注意等号成立的条件，从而求出函数y=f（x）的值域；
（2）将函数y=f（x）在定义域上是减函数，转化成f′（x）≤0对x∈（0，1]恒成立，然后将a分离出来得到a≤-2x²，
x∈（0，1]，只需a≤（-2x²）_min即可，从而求出a的取值范围．

解答：解：（1）f(x)=2x+

1

x

≥2

2

，∵x∈（0，1]
∴当且仅当2x=

1

x

，即x=

2

2

时，f(x)min=2

2

，
所以函数y=f（x）的值域为[2

2

，+∞)；
（2）因为函数y=f（x）在定义域上是减函数，
所以f′(x)=2+

a

x2

=

2x2+a

x2

≤0对x∈（0，1]恒成立，
即a≤-2x²，x∈（0，1]，所以a≤（-2x²）_min，
所以a≤-2，故a的取值范围是：（-∞，-2]；

点评：本题主要考查函数的概念、性质及利用导数研究恒成立问题等基础知识，考查灵活运用基本不等式方法进行探索求值域，属于基础题．