Question

8、把函数f（x）=x³-3x的图象C₁向右平移u个单位长度，再向下平移v个单位长度后得到图象C₂，若对任意u＞0，曲线C₁与C₂至多只有一个交点，则v的最小值

4

．

Answer 1

分析：平移后的图象与平移前只有一个交点，也就是平移后函数的最大值小于或等于平移前函数的最小值，利用导数求相应的最值即可．

解答：解：f（x）=x³-3x
令f′（x）=3x²-3=0，
得x=±1，∴函数f（x）=x³-3x在x=±1处取得极值，且
f（-1）=2，
f（1）=-2，函数f（x）的图象如图所示．图象C₁经平移后得到C₂
∵对任意v＞0，曲线C₁与C₂至多只有一个交点．
则C₂的极大值必须小于或等于C₁的极小值．
即2-v≤-2，
∴v≥4．
故答案为：4

点评：本题考查函数图象的平移，以及利用函数的导数研究函数最大值、最小值的方法，属于基础题．