Question

（2013•辽宁二模）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（　　）

• A．y=sin(x-

  π

  6

  )
• B．y=2^x
• C．y=x
• D．y=-x³

Answer 1

分析：根据奇函数在x=0处函数值为0，得A项不是奇函数，不符合题意；根据指数函数的单调性，得y=2^x是R上的增函数，不符合题意；根据函数y=x是R上的增函数，得C项不符合题意；由此可得只有D项符合题意，再利用单调性和奇偶性的定义加以证明即可．

解答：解：对于A，因为函数y=sin(x-

π

6

)当x=0时，y=sin（-

π

6

）≠0
所以y=sin(x-

π

6

)不是奇函数，故A项不符合题意；
对于B，因为2＞1，所以指数函数y=2^x是R上的增函数，
不满足在其定义域内是减函数，故B项不符合题意；
对于C，显然函数y=x是R上的增函数，故C项也不符合题意；
对于D，设f（x）=-x³，可得
f（-x）=-（-x）³=x³=-f（x），因此函数y=-x³是奇函数，
又因为f′（x）=-2x²≤0恒成立，可得y=-x³是其定义域内的减函数
∴函数y=-x³是其定义域内的奇函数且是减函数，故D项符合题意
故选：D

点评：本题给出定义在R上的几个函数，要我们找出其中的奇函数且是减函数的函数，着重考查了基本初等函数的单调性与奇偶性及其判断方法的知识，属于基础题．