Question

已知函数f(x)=

a2-x2

x-2a

（a＞0）
（1）证明：f（x）既不是奇函数又不是偶函数．
（2）求f（x）的值域．
（3）若对于f（x）定义域内的任意实数x₁，都能构造出一个无穷数列{x_n}，
使其满足条件x_n+1=f（x_n）（n∈N^*），求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f(

a

2

)=-

3

3

，f(-

a

2

)=-

3

5

，知f(

a

2

)≠f(-

a

2

)，且f(

a

2

)≠-f(-

a

2

)，由此能够证明f（x）既不是奇函数又不是偶函数．
（2）令t=x-2a，t∈[-3a，-a]，f(t)=

-t2-4at-3a2

t

=-

-1- 4a t - 3a2 t2

，再由函数的单调性能够求出函数的值域．
（3）由题意可知，函数f（x）的值域B应为定义域A的子集，即B⊆A．由此能求出a的取值范围．

解答：（1）证明：函数的定义域为[-a，a]
∵f(

a

2

)=-

3

3

，
f(-

a

2

)=-

3

5

------（2分）
f(

a

2

)≠f(-

a

2

)，
且f(

a

2

)≠-f(-

a

2

)
∴f（x）既不是奇函数又不是偶函数；----（4分）
（2）解：令t=x-2a，t∈[-3a，-a]，
f(t)=

-t2-4at-3a2

t

=-

-1- 4a t - 3a2 t2

------（6分）
令

a

t

=k，-1≤k≤-

1

3

，
则f（k）在[-1，-

2

3

]递增，在[-

2

3

，-

1

3

]递减--（8分）
所以函数的值域为[-

3

3

，0]-----（10分）
（3）解：由题意可知，
函数f（x）的值域B应为定义域A的子集，
即B⊆A------（12分）
∴a的取值范围为[

3

3

，+∞)------（14分）

点评：本题考查数与函数的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．