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【题目】某校后勤处为跟踪调查该校餐厅的当月的服务质量,兑现奖惩,从就餐的学生中随机抽出100位学生对餐厅服务质量打分(5分制),得到如图柱状图.
(Ⅰ)从样本中任意选取2名学生,求恰好有1名学生的打分不低于4分的概率;
(Ⅱ)若以这100人打分的频率作为概率,在该校随机选取2名学生进行打分(学生打分之间相互独立)记X表示两人打分之和,求X的分布列和E(X).
(Ⅲ)根据(Ⅱ)的计算结果,后勤处对餐厅服务质量情况定为三个等级,并制定了对餐厅相应的奖惩方案,如表所示,设当月奖金为Y(单位:元),求E(Y).

服务质量评分X

X≤5

6≤X≤8

X≥9

等级

不好

较好

优良

奖惩标准(元)

﹣1000

2000

3000

【答案】解:(Ⅰ)设“从样本中任意选取2名学生,求恰好有一名学生的打分不低于4分”为事件A, 则P(A)= = ≈0.51;
(Ⅱ)X的可能取值为4,5,6,7,8,9,10;
则P(X=4)=0.2×0.2=0.04,
P(X=5)=2×0.2×0.3=0.12,
P(X=6)=2×0.2×0.3+0.3×0.3=0.21,
P(X=7)=2×0.3×0.3+2×0.2×0.2=0.26,
P(X=8)=2×0.2×0.3+0.3×0.3=0.21,
P(X=9)=2×0.2×0.3=0.12,
P(X=10)=0.2×0.2=0.04;
X的分布列如下:

X

4

5

6

7

8

9

10

P

0.04

0.12

0.21

0.26

0.21

0.12

0.04

X的数学期望为E(X)=4×0.04+5×0.12+6×0.21+7×0.26+8×0.21+9×0.12+10×0.04=7;
(Ⅲ)Y的分布列为

Y

﹣1000

2000

3000

P

0.16

0.68

0.16

Y的数学期望为E(Y)=﹣1000×0.16+2000×0.68+3000×0.16=1680
【解析】(Ⅰ)计算“从样本中任意选取2名学生,恰好有一名学生的打分不低于4分”的概率值;(Ⅱ)由X的可能取值,计算对应的概率值,写出X的分布列,计算数学期望;(Ⅲ)根据表格写出Y的分布列,计算对应的数学期望值.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用离散型随机变量及其分布列的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握在射击、产品检验等例子中,对于随机变量X可能取的值,我们可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量.离散型随机变量的分布列:一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn,X取每一个值 xi(i=1,2,......)的概率P(ξ=xi)=Pi,则称表为离散型随机变量X 的概率分布,简称分布列.

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