Question

已知y=f（x）是函数y=

ex

a

（a≠0，a∈R）的反函数，g(x)=

x-1

x

（Ⅰ）解关于x的不等式：1+e^f（x）+g（x）＞0；
（Ⅱ）当a=1时，过点（1，-1）是否存在函数y=f（x）图象的切线？若存在，有多少条？若不存在，说明理由；
（Ⅲ）若a是使f（x）≥g（x）（x≥1）恒成立的最小值，试比较

n

k=1

1

1+kλ

与f[（1+n）^λ2^n（1-λ）]的大小（0＜λ＜1，n∈N^*）．

Answer 1

分析：（I）先求出函数y=

ex

a

（a≠0，a∈R）的反函数f（x），把f（x）代入化简后，再对a进行分类讨论，转化为一元二次不等式，则不等式易解；
（Ⅱ）设出切点，用导数工具刻画出函数的单调性和关键点，进而得出切线的情况；
（Ⅲ）把恒成立问题转化为函数的最值来求解a值，再利用

1+kλ

2

≤(

1+k

2

)λ，即1+k^λ≤2^1-λ（1+k）^λ，来进行证明即可．

解答：解：（1）由已知可得f（x）=lnax，当a＞0时，f（x）的定义域为（0，+∞）；
当a＜0时，f（x）的定义域为（-∞，0）
①当a＞0时，x＞0，原不等式等价于：1+ax+

x-1

x

＞0?ax²+2x-1＞0，
可得  x∈(

a+1 -1

a

，+∞)；
②当a＜0时，x＜0，原不等式等价于：1+ax+

x-1

x

＜0?ax²+2x-1＜0，
可得  x∈（-∞，0）．                  （4分）
（2）设y=f（x）图象上的切点坐标为（x₀，f（x₀）），显然x₀≠1，
可得f′(x0)=

1

x0

=

lnx0

x0-1

⇒lnx0=-

1

x0

，
设h(x0)=lnx0+

1

x0

(x0＞0，x0≠1)，h′(x0)=

x0-1

x0

，
可得h（x₀）在（1，+∞）为增区间；（0，1）为减区间，h（x₀）＞h（1）=1
所以h（x₀）=0没有实根，故不存在切线．（9分）
（3）∵lnax≥

x-1

x

对x≥1恒成立，所以lna+lnx≥

x-1

x

⇒lna≥1-

1

x

-lnx，
令h(x)=1-

1

x

-lnx，h′(x)=

1

x2

-

1

x

≤0(x≥1)，可得h（x）在区间[1，+∞）上单调递减，
故lna≥h（1）=0，a_min=1．得lnx≥

x-1

x

(x≥1)，f（x）=lnx．
令x=

1+kλ

kλ

(k∈N*)，ln(1+kλ)-lnkλ＞

1

1+kλ

，
而

1+kλ

2

≤(

1+k

2

)λ，即1+k^λ≤2^1-λ（1+k）^λ，
所以

1

1+kλ

＜ln(1+kλ)-lnkλ≤ln(1+k)λ-lnkλ+ln21-λ，

n

k=1

1

1+kλ

＜ln(1+n)λ+nln21-λ=f[（1+n）^λ2^n（1-λ）]．               （14分）

点评：本题为函数与导数的综合，涉及不等式的解法和函数恒成立问题以及切线问题，属中档题．