Question

如图，抛物线y=x²第一象限部分上的一系列点A_i（i=1，2，3，…，n，…）与y正半轴上的点B₁及原点，构成一系列正三角形A_iB_i-1B_i（记B₀为O），记a_i=|A_iA_i+1|．
（1）求a₁，a₂的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（3）求证：

1

a 2 1

+

1

a 2 2

+

1

a 2 n

+…+

1

a 2 n

＜

9

4

．

Answer 1

分析：（1）求出求出数列{a_n}的通项公式．由此能够求出a₁，a₂的值．
（2）设Ai(xi，xi2)，B_i-1B_i的中点为D_i（i=1，2，…，n），则D_i的坐标为（0，xi2），|A_iD_i|=x_i，|Bi-1Di|=|DiBi|=

xi

3

，|A_iD_i|=x_i，|B_i-1D_i|=|D_iB_i|=

xi

3

，等边△B_i-1A_iB_i的边长为bi=

2xi

3

，由△B₀A₁B₁是等边三角形，利用余弦定理能求出数列{a_n}的通项公式．
（3）由

1

an2

=

9

4

(

1

n2+n+1

)＜

9

4

（

1

n2+n+1

）＜

9

4

(

1

n

-

1

n+1

)，知

1

a12

+

1

a22

+

1

a32

+…+

1

an2

＜

9

4

(1-

1

n+1

)＜

9

4

．

解答：解：（1）设Ai(xi，xi2)，B_i-1B_i的中点为D_i（i=1，2，…，n），
则D_i的坐标为（0，xi2），|A_iD_i|=x_i，
|Bi-1Di|=|DiBi|=

xi

3

，|A_iD_i|=x_i，|B_i-1D_i|=|D_iB_i|=

xi

3

，等边△B_i-1A_iB_i的边长为bi=

2xi

3

，
∵△B₀A₁B₁是等边三角形，
∴

3

xi2=x1，
x1=

3

3

，b1=

2

3

，
又∵△B_i-1A_iB_i是等边三角形，
∴|OD_i|-|D_iB_i-1|=|OB_i-1|=|0D_i-1|+|D_i-1B_i-1|，
∴xi2-

xi

3

=xi-12+

xi-1

3

，
∴xi2-

xi

3

=x i-12+

xi-1

3

，
∴xi-xi-1=

3

3

，
∴bi-bi-1=

2

3

，
而b1=

2

3

，∴bn=

2n

3

．
△A_iB_iA_i+1中，由余弦定理得：ai2=bi2+bi+1 2-bibi+1，
∴an 2=bn2+bn+12-bnbn+1
=

4

9

[n2+(n+1)2-n(n+1)]
=

4

9

(n2+n+1)．
∴an=

2

3

n2+n+1

．
∴a1=

2

3

3

，a2=

2

3

7

，
（2）设Ai(xi，xi2)，B_i-1B_i的中点为D_i（i=1，2，…，n），
则D_i的坐标为（0，xi2），|A_iD_i|=x_i，
|Bi-1Di|=|DiBi|=

xi

3

，|A_iD_i|=x_i，|B_i-1D_i|=|D_iB_i|=

xi

3

，等边△B_i-1A_iB_i的边长为bi=

2xi

3

，
∵△B₀A₁B₁是等边三角形，
∴

3

xi2=x1，
x1=

3

3

，b1=

2

3

，
又∵△B_i-1A_iB_i是等边三角形，
∴|OD_i|-|D_iB_i-1|=|OB_i-1|=|0D_i-1|+|D_i-1B_i-1|，
∴xi2-

xi

3

=xi-12+

xi-1

3

，
∴xi2-

xi

3

=x i-12+

xi-1

3

，
∴xi-xi-1=

3

3

，
∴bi-bi-1=

2

3

，
而b1=

2

3

，∴bn=

2n

3

．
△A_iB_iA_i+1中，由余弦定理得：ai2=bi2+bi+1 2-bibi+1，
∴an 2=bn2+bn+12-bnbn+1
=

4

9

[n2+(n+1)2-n(n+1)]
=

4

9

(n2+n+1)．
∴an=

2

3

n2+n+1

．
（3）∵

1

an2

=

9

4

(

1

n2+n+1

)＜

9

4

（

1

n2+n+1

）
＜

9

4

(

1

n

-

1

n+1

)，
∴

1

a12

+

1

a22

+

1

a32

+…+

1

an2

＜

9

4

(1-

1

n+1

)＜

9

4

．

点评：本题考查数列与函数的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．