Question

（理）数列{a_n}，若对任意的k∈N^*，满足

a2k+1

a2k-1

=q1，

a2k+2

a2k

=q2

&(q1，q2

是常数且不相等），则称数列{a_n}为“跳跃等比数列”，则下列关于“跳跃等比数列”的命题：
（1）若数列{a_n}为“跳跃等比数列”，则满足b_k=a_2k•a_2k-1（k∈N^*）的数列{b_n}是等比数列； 
（2）若数列{a_n}为“跳跃等比数列”，则满足bk=

a2k

a2k-1

(k∈N*)的数列{b_n}是等比数列； 
（3）若数列{a_n}为等比数列，则数列{（-1）ⁿa_n}是“跳跃等比数列”；  
（4）若数列{a_n}为等比数列，则满足bn=

ak+1•ak ，&n=2k-1 ak+1 ak ，&n=2k

(k∈N*)的数列{b_n}是“跳跃等比数列”；
（5）若数列{a_n}和{b_n}都是“跳跃等比数列”，则数列{a_n•b_n}也是“跳跃等比数列”；其中正确的命题个数为（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：（1）根据数列{a_n}为“跳跃等比数列”，则

bk+1

bk

=q₂•q₁（常数），然后根据等比数列的定义可判定数列{b_n}是否为等比数列；
（2）根据数列{a_n}为“跳跃等比数列”，则

bk+1

bk

=

q2

q1

（常数），然后根据等比数列的定义可知数列{b_n}是否为等比数列；
（3）根据数列{a_n}为等比数列，假设公比为q，则新数列奇数项之比与偶数项之比相等不符合定义，从而确定数列{（-1）ⁿa_n}是否为“跳跃等比数列”；
（4）根据数列{a_n}为等比数列，假设公比为q，假设n=2k-1，则

bn+1

bn

≠常数，根据“跳跃等比数列”的定义进行判定数列{b_n}；
（5）根据数列{a_n}和{b_n}都是“跳跃等比数列”，然后根据“跳跃等比数列”的定义判定数列{a_n•b_n}．

解答：解：（1）若数列{a_n}为“跳跃等比数列”，则

bk+1

bk

=

a2k+2• a2k+1

a2k•a2k-1

=q₂•q₁（常数），根据等比数列的定义可知数列{b_n}是等比数列，故正确；
（2）若数列{a_n}为“跳跃等比数列”，则

bk+1

bk

=

a2k+2•a2k-1

a2k•a2k+1

=

q2

q1

（常数），根据等比数列的定义可知数列{b_n}是等比数列，故正确；
（3）若数列{a_n}为等比数列，假设公比为q，则

-a2k+1

-a2k-1

=q2，

a2k+2

a2k

=q2，公比相等不符合定义，∴数列{（-1）ⁿa_n}不是“跳跃等比数列”，故不正确；
（4）若数列{a_n}为等比数列，假设公比为q，假设n=2k-1，则

bn+1

bn

=

q

q a 2 k

=

1

a 2 k

≠常数，故数列{b_n}不是“跳跃等比数列”，故不正确；
（5）若数列{a_n}和{b_n}都是“跳跃等比数列”，则

a2k+1

a2k-1

=q1，

a2k+2

a2k

=q2

&(q1，q2

是常数且不相等），

b2k+1

b2k-1

= p1，

b2k+2

b2k

=p2（p₁，p₂是常数且不相等），那么数列{a_n•b_n}也是“跳跃等比数列”，故正确．
故选C．

点评：本题主要考查了等比关系的确定，以及新的定义的应用，同时考查了计算能力，属于中档题．