Question

设函数f（x）=x-m（x+1）ln（x+1），（x＞-1，m≥0）
（1）求f（x）的单调区间；
（2）当m=1时，若直线y=t与函数f（x）在[-

1

2

，1]上的图象有两个交点，求实数t的取值范围；
（3）证明：当a＞b＞0时，（1+a）^b＜（1+b）^a．

Answer 1

分析：（1）首先求出函数的导数，然后令f′（x）=0，解出函数的极值点，最后根据导数判断函数的单调性，从而求解．
（2）由（1）求出f（x）的单调区间，由题意直线y=t与函数f（x）在[-

1

2

，1]上的图象有两个交点等价于方程f（x）=t在[-

1

2

，1]上有两个实数解，从而求出实数t的取值范围；
（3）只需证bln（1+a）＜aln（1+b），只需证：

ln(1+a)

a

＜

ln(1+b)

b

，设g(x)=

ln(1+x)

x

，(x＞0)则利用函数的单调性进行证明．

解答：解：（1）f'（x）=1-mln（x+1）-m
=1 ①m=0时，f'（x）=1＞0，
∴f（x）在定义域（-1，+∞）是增函数（2分）
=2 ②m＞0时，令f'（x）＞0得mln（x+1）＜1-m，∴-1＜x＜e

1-m

m

-1
∴f（x）在[-1，e

1-m

m

-1]上单调递增，在[e

1-m

m

-1，+∞)上单调递减（4分）
（2）直线y=t与函数f（x）在[-

1

2

，1]上的图象有两个交点等价于方程f（x）=t在[-

1

2

，1]上有两个实数解（5分）
由（I）知，f（x）在[-

1

2

，0]上单调递增，在[0，1]上单调递减．
又f(0)=0，f(1)=1-ln4，f(-

1

2

)=-

1

2

+

1

2

ln2，且f(1)＜f(-

1

2

)（7分）
∴当t∈[-

1

2

+

1

2

ln2，0)时，方程f（x）=t有两个不同解，
即直线y=t与函数f（x）在[-

1

2

，1]上的图象有两个交点（8分）
（3）要证：（1+a）^b＜（1+b）^a
只需证bln（1+a）＜aln（1+b），只需证：

ln(1+a)

a

＜

ln(1+b)

b

（10分）
设g(x)=

ln(1+x)

x

，(x＞0)则g′(x)=

x 1+x -ln(1+x)

x2

=

x-(1+x)ln(1+x)

x2(1+x)

．（12分）
由（I）知x-（1+x）ln（1+x）在（0，+∞）单调递减，∴x-（1+x）ln（1+x）＜0即g（x）是减函数，而a＞b
∴g（a）＜g（b），故原不等式成立（14分）

点评：此题主要考查对数函数的导数，函数单调性的判定，函数最值，函数、方程与不等式等基础知识，一般出题者喜欢考查学生的运算求解能力、推理论证能力及分析与解决问题的能力，要出学生会用数形结合的思想、分类与整合思想，化归与转化思想、有限与无限的思想来解决问题．