Question

3．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8、高为3的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6、高为3的等腰三角形．
（1）求该几何体的体积V；
（2）求该几何体的侧面积S．

Answer 1

分析 由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8，高为h₁的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6、高为h₂的等腰三角形，分析出图形之后，再利用公式求解即可．

解答 解：由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，
正侧面及其相对侧面均为底边长为8，高为h₁的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6、高为h₂的等腰三角形，
如图所示．
（1）几何体的体积为
V=$\frac{1}{3}$•S_矩形•h=$\frac{1}{3}$×6×8×3=48；
（2）正侧面及相对侧面底边上的高为：h₁=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=$3\sqrt{2}$．
左、右侧面的底边上的高为：
h₂=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5．
故几何体的侧面面积为：
S=2×（$\frac{1}{2}$×8×$3\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$×6×5）=30+24$\sqrt{2}$．

点评 本题考查的知识点是棱柱、棱锥、棱台的体积，其中根据已知的三视图分析出几何体的形状是解答的关键，是中档题．