Question

5．（1）已知y=sinx+cosx，x∈R，求y的范围；
（2）已知y=sinx+cosx-sin2x，x∈R，求y的范围．

Answer 1

分析 （1）利用辅助角公式化积，再由正弦函数的值域得答案；
（2）令sinx+cosx=t，（$-\sqrt{2}≤t≤\sqrt{2}$），求得sin2x=t²-1，转化为关于t的二次函数得答案．

解答 解：（1）∵y=sinx+cosx=$\sqrt{2}（\frac{\sqrt{2}}{2}•sinx+\frac{\sqrt{2}}{2}cosx）$=$\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）$．
∴y∈[$-\sqrt{2}，\sqrt{2}$]；
（2）令sinx+cosx=t（$-\sqrt{2}≤t≤\sqrt{2}$），
∴sin²x+2sinxcosx+cos²x=t²，则sin2x=t²-1，
∴y=sinx+cosx-sin2x=t-t²+1=-t²+t+1，（$-\sqrt{2}≤t≤\sqrt{2}$），
对称轴方程为t=$\frac{1}{2}$，
∴当t=$\frac{1}{2}$时，${y}_{max}=\frac{5}{4}$；
当t=-$\sqrt{2}$时，${y}_{min}=-1-\sqrt{2}$．
∴y∈[$-1-\sqrt{2}，\frac{5}{4}$]．

点评 本题考查三角函数的化简求值，考查了三角函数值域的求法，训练了换元法求函数的值域，是中档题．