Question

已知曲线y=x³-8x+2
（1）求曲线在点x=0处的切线方程；
（2）过原点作曲线的切线l：y=kx，求切线方程．

Answer 1

分析：（1）先求出函数的导函数，再求出函数在x=0处的导数即斜率，易求切线方程．
（2）设切点为（x₀，y₀），则直线l的斜率为f'（x₀）=3x₀²-8，从而求得直线l的方程，由条件直线1过原点可求解切点坐标，进而可得直线1的方程．

解答：解：（1）∵f'（x）=（x³-8x+2）'=3x²-8，
∴在点x=0处的切线的斜率k=f^′（0）=-8，且f（0）=2，
∴切线的方程为y=-8x+2．
（2）设切点为（x₀，y₀），则直线l的斜率为f'（x₀）=3x₀²-8，
∴直线l的方程为y=（3x₀²-8）（x-x₀）+x₀³-8x₀+2．
又∵直线l过点（0，0），∴0=（3x₀²-8）（-x₀）+x₀³-8x₀+2，
整理，得x₀³=-1，∴x₀=-1，直线l的斜率k=3×（-1）²-8=-5，
∴直线l的方程为y=-5x．

点评：此题考查学生会利用导数研究曲线上某点的切线方程，是一道综合题．学生在解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”；同时解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标解决．