Question

设关于x的函数f（x）=mx²-（2m²+4m+1）x+（m+2）lnx，其中m为实数集R上的常数，函数f（x）在x=1处取得极值0．
（Ⅰ）已知函数f（x）的图象与直线y=k有两个不同的公共点，求实数k的取值范围；
（Ⅱ）设函数g(x)=(p-2)x+

p+2

x

，其中p≤0，若对任意的x∈[1，2]，总有2f（x）≥g（x）+4x-2x²成立，求p的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数，利用函数f（x）在x=1处取得极值0，建立方程组，从而可求函数解析式，确定函数的单调性与最值，即可求得结论；
（Ⅱ）设F(x)=2f(x)-g(x)-4x+2x2=2lnx-px-

p+2

x

，若对任意的x∈[1，2]，2f（x）≥g（x）+4x-2x²恒成立，则F（x）的最小值F（x）_min≥0，分类讨论，即可求p的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）求导函数可得：f′(x)=2mx-(2m2+4m+1)+

m+2

x

∵函数f（x）在x=1处取得极值0
∴

f′(1)=2m-(2m2+4m+1)+m+2=-2m2-m+1=0 f(1)=m-(2m2+4m+1)=-2m2-3m-1=0

∴m=-1…（4分）
∴f′(x)=

(-2x-1)(x-1)

x

(x∈(0，+∞))
令f'（x）=0得x=1或x=-

1

2

（舍去）
当0＜x＜1时，f'（x）＞0；当x＞1时，f'（x）＜0．
∴函数f（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减．
∴当x=1时，函数f（x）取得极大值，即最大值为f（1）=0 …（6分）
∴当k＜0时，函数f（x）的图象与直线y=k有两个交点…（7分）
（Ⅱ）设F(x)=2f(x)-g(x)-4x+2x2=2lnx-px-

p+2

x

若对任意的x∈[1，2]，2f（x）≥g（x）+4x-2x²恒成立，则F（x）的最小值F（x）_min≥0（*）…（9分）F′(x)=

2

x

-p+

p+2

x2

=

-px2+2x+(p+2)

x2

（1）当p=0时，F′(x)=

2x+2

x2

＞0，F（x）在[1，2]递增
所以F（x）的最小值F（1）=-2＜0，不满足（*）式
所以p=0不成立…（11分）
（2）当p≠0时，F′(x)=

-p(x+1)(x- p+2 p )

x2

①当-1＜p＜0时，1+

2

p

＜-1，此时F（x）在[1，2]递增，F（x）的最小值F（1）=-2p-2＜0，不满足（*）式
②当p＜-1时，-1＜1+

2

p

≤1，F（x）在[1，2]递增，所以F（x）_min=F（1）=-2p-2≥0，解得p≤-1，此时p＜-1满足（*）式
③当p=-1时，F（x）在[1，2]递增，F（x）_min=F（1）=0，p=-1满足（*）式
综上，所求实数p的取值范围为p≤-1…（14分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值与单调性，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，正确求函数的最值是关键．