【题目】【2017湖南长沙二模】已知椭圆()的离心率为,分别是它的左、右焦点,且存在直线,使关于的对称点恰好是圆()的一条直线的两个端点.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线与抛物线()相交于两点,射线,与椭圆分别相交于点,试探究:是否存在数集,当且仅当时,总存在,使点在以线段为直径的圆内?若存在,求出数集;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)
【解析】试题分析:(1)由圆的方程配方得半径为2,由题设知,椭圆的焦距等于圆的直径,所以,又,可得椭圆方程.
(2)由题可得直线是线段的垂直平分线,由方程与,联立可得:
,.又点在以线段为直径的圆内即,
试题解析:(1)将圆的方程配方得:,所以其圆心为,半径为2,由题设知,椭圆的焦距等于圆的直径,所以,
又,所以,从而,故椭圆的方程为.
(2)因为产于的对称点恰好是圆的一条直径的两个端点,所以直线是线段的垂直平分线(是坐标原点),故方程为,与,联立得:,由其判别式得①.
设,,则,,
从而,.
因为的坐标为,
所以,,
注意到与同向,与同向,所以
点在以线段为直径的圆内,所以
即
代入整理得②
当且仅当即时,总存在,使②成立.
又当时,由韦达定理知方程的两根均为正数,故使②成立的,从而满足①.
故存在数集,当且仅当时,总存在使点在以线段为直径的圆内.
点晴:本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系.直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想,另一方面要结合已知条件,从图形角度求解.联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组,化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法.涉及点在以线段为直径的圆内,坐标化求解即可.
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【题目】已知函数f(x)=3x2﹣2ax﹣b,其中a,b是实数.
(1)若不等式f(x)≤0的解集是[0,6],求ab的值;
(2)若b=3a,对任意x∈R,都有f(x)≥0,且存在实数x,使得f(x)≤2﹣ a,求实数a的取值范围;
(3)若方程有一个根是1,且a,b>0,求 的最小值,及此时a,b的值.
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【题目】如图,有一块矩形空地,要在这块空地上辟一个内接四边形为绿地,使其四个顶点分别落在矩形的四条边上,已知AB=a(a>2),BC=2,且AE=AH=CF=CG,设AE=x,绿地面积为y.
(1)写出y关于x的函数关系式,并指出这个函数的定义域.
(2)当AE为何值时,绿地面积最大?
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【题目】【2017广西5月考前联考】宝宝的健康成长是妈妈们最关心的问题,父母亲为婴儿选择什么品牌的奶粉一直以来都是育婴中的一个重要话题,为了解过程奶粉的知名度和消费者的信任度,某调查小组特别调查记录了某大型连锁超市2015年与2016年这两年销售量前5名的五个品牌奶粉的销量(单位:罐),绘制如下的管状图:
(1)根据给出的这两年销量的管状图,对该超市这两年品牌奶粉销量的前五强进行排名;
(2)分别计算这5个品牌奶粉2016年所占总销量(仅指这5个品牌奶粉的总销量)的百分比(百分数精确到各位),并将数据填入如下饼状图中的括号内;
(3)试以(2)中的百分比作为概率,若随机选取2名购买这5个品牌中任意1个品牌的消费者进行采访,记为被采访中购买飞鹤奶粉的人数,求的分布列及数学期望.
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【题目】梯形BDEF所在平面垂直于平面ABCD于BD,EF∥BD,EF=DE= BD,BD=BC=CD= AB= AD=2,DE⊥BC.
(1)求证:DE⊥平面ABCD;
(2)求平面AEF与平面CEF所成的锐二面角的余弦值.
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