Question

已知数列{a_n}（n为正整数）是首项是a₁，公比为q的等比数列．
（1）求和：a₁C₂⁰-a₂C₂¹+a₃C₂²，a₁C₃⁰-a₂C₃¹+a₃C₃²-a₄C₃³；
（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明．
（3）设q≠1，S_n是等比数列{a_n}的前n项和，求：S₁C_n⁰-S₂C_n¹+S₃C_n²-S₄C_n³+…+（-1）ⁿS_n+1C_nⁿ．

Answer 1

分析：（1）利用组合数公式和等比数列的通项公式进行化简，再利用平方差和立方差公式合并．
（2）利用归纳推理和（1）的结果进行推理出结论，利用二项式定理从左边到右边证明．
（3）由题意知数列{a_n}是等比数列，而且q≠1，求出s_n代入所给的式子，进行整理和分组，再利用二项式定理求解．

解答：解：（1）a₁C₂⁰-a₂C₂¹+a₃C₂²=a₁-2a₁q+a₁q²
=a₁（1-q）²
a₁C₃⁰-a₂C₃¹+a₃C₃²-a₄C₃³
=a₁（1-q）²a₁C₃⁰-a₂C₃¹+a₃C₃²-a₄C₃³
=a₁-3a₁q+3a₁q²-a₁q³
=a₁（1-q）³；
（2）归纳概括的结论为：若数列{a_n}是首项为a₁，公比为q的等比数列，
则a₁C_n⁰-a₂C_n¹+a₃C_n²-a₄C_n³+…+（-1）ⁿa_n+1C_nⁿ=a₁（1-q）ⁿ，n为正整数
证明：a₁C_n⁰-a₂C_n¹+a₃C_n²-a₄C_n³+…+（-1）ⁿa_n+1C_nⁿ
=a₁C_n⁰-a₁qC_n¹+a₁q²C_n²-a₁q³C_n³+…+（-1）ⁿa₁qⁿC_nⁿ
=a₁[C_n⁰-qC_n¹+q²C_n²-q³C_n³+…+（-1）ⁿqⁿC_nⁿ]
=a₁（1-q）ⁿ；
∴左边=右边，该结论成立．
（3）∵数列{a_n}（n为正整数）是首项是a₁，公比为q的等比数列，而且q≠1．
∴Sn=

a1-a1qn

1-q

=

a1(1-qn)

1-q

，
∴S₁C_n⁰-S₂C_n¹+S₃C_n²-S₄C_n³+…+（-1）ⁿS_n+1C_nⁿ
=

a1

1-q

[（1-q）c_n⁰-（1-q²）c_n¹+（1-q³）c_n²-（1-q⁴）c_n³+…+（-1）ⁿ（1-qⁿ⁺¹）c_nⁿ]
=

a1

1-q

[

C

0 n

-

C

1 n

+

C

2 n

-

C

3 n

+…+(-1)n

C

n n

]-

a1q

1-q

[

C

0 n

-q

C

1 n

+q2

C

2 n

-q3

C

3 n

+…+(-1)nqn

C

n n

]
=

a1q

q-1

(1-q)n．

点评：本题为等比数列和二项式定理的综合应用，还用到组合数公式，计算量大；在化简式子时根据特点进行分组求解，利用二项式定理进行化简．