【题目】已知函数f(x)=﹣x3+ax在(﹣1,0)上是增函数.
(1)求实数a的取值范围A;
(2)当a为A中最小值时,定义数列{an}满足:a1∈(﹣1,0),且2an+1=f(an),用数学归纳法证明an∈(﹣1,0),并判断an+1与an的大小.
【答案】
(1)解:∵f′(x)=﹣3x2+a≥0即a≥3x2在x∈(﹣1,0)恒成立,a≥3.
∴a∈[3,+∞);∴A=[3,+∞);
(2)解:用数学归纳法证明:an∈(﹣1,0).
(ⅰ)n=1时,由题设a1∈(﹣1,0);
(ⅱ)假设n=k时,ak∈(﹣1,0)
则当n=k+1时,
由(1)知:f(x)=﹣x3+3x在(﹣1,0)上是增函数,又ak∈(﹣1,0),
所以 ,
综合(ⅰ)(ⅱ)得:对任意n∈N*,an∈(﹣1,0).
因为an∈(﹣1,0),所以an+1﹣an<0,即an+1<an.
【解析】(1)通过函数的导数值恒大于等于0,求实数a的取值范围A;(2)直接利用数学归纳法证明步骤证明an∈(﹣1,0),通过作差法比较an+1与an的大小.
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性和数学归纳法的定义是解答本题的根本,需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减;数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法.
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【题目】【选修4-4:坐标系与参数方程】
在直角坐标系中圆C的参数方程为(为参数),以原点O为极点, 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为
(1)求圆C的直角坐标方程及其圆心C的直角坐标;
(2)设直线与曲线交于两点,求的面积.
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【题目】函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)图象的一部分如图所示,函数g(x)=f(x+ ),则下列结论正确的是( )
A.函数g(x)的奇函数
B.函数f(x)与g(x)的图象均关于直线x=﹣ π对称
C.函数f(x)与g(x)的图象均关于点(﹣ ,0)对称
D.函数f(x)与g(x)在区间(﹣ ,0)上均单调递增
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【题目】已知函数f(x)=(sinx+ cosx)2﹣2.
(1)当x∈[0, ]时,求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若x∈[﹣ , ],求函数g(x)= f2(x)﹣f(x+ )﹣1的值域.
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【题目】在锐角△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C所对的边,且 =2csinA
(1)确定角C的大小;
(2)若c= ,且△ABC的面积为 ,求a+b的值.
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【题目】如图,在直三棱柱ABC A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.
(1) 求证:直线DE∥平面A1C1F;
(2) 求证:平面B1DE⊥平面A1C1F.
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【题目】已知f(x)是偶函数,且f(x+ )=f( ﹣x),当﹣ ≤x≤0时,f(x)=( )x﹣1,记an=f( ),n∈N+ , 则a2046的值为( )
A.1﹣
B.1﹣
C.﹣1
D.﹣1
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【题目】已知函数, .
(Ⅰ)若直线 与曲线和分别交于两点.设曲线
在点处的切线为, 在点处的切线为.
(ⅰ)当时,若 ,求的值;
(ⅱ)若,求的最大值;
(Ⅱ)设函数在其定义域内恰有两个不同的极值点, ,且.
若,且恒成立,求的取值范围.
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