【题目】如图所示,在等腰梯形CDEF中,DE=CD= ,EF=2+ ,将它沿着两条高AD,CB折叠成如图(2)所示的四棱锥E﹣ABCD(E,F重合).
(1)求证:BE⊥DE;
(2)设点M为线段AB的中点,试在线段CE上确定一点N,使得MN∥平面DAE.
【答案】
(1)证明:∵AD⊥EF,∴AD⊥AE,AD⊥AB.
又∵AB∩AE=A,
∴AD⊥平面ABE,∴AD⊥BE.
由题图(1)和题中所给条件知,四棱锥E﹣ABCD中,AE=BE=1,AB=CD= ,
∴AE2+BE2=AB2,即AE⊥BE.
又∵AE∩AD=A,
∴BE⊥平面ADE,∴BE⊥DE
(2)解:取EC的中点G,BE的中点P,连接PM,PG,MG,
则MP∥AE,GP∥CB∥DA,
∴MP∥平面DAE,GP∥平面DAE.
∵MP∩GP=P,∴平面MPG∥平面DAE.
∵MG平面MPG,∴MG∥平面DAE,
故当点N与点G重合时满足条件
【解析】(1)证明AD⊥平面ABE,AD⊥BE,AE⊥BE,再用一次线面垂直的判定定理得到BE⊥面DAE,所以DE⊥BE;(2)取EC的中点G,BE的中点P,连接PM,PG,MG.利用三角形中位线定理结合线面平行的判定,得到MP∥平面DAE,GP∥平面DAE,从而平面MPG∥平面DAE,由此得到直线MG∥平面DAE,可得点N就是点G.
【考点精析】本题主要考查了直线与平面平行的判定和直线与平面垂直的性质的相关知识点,需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行;垂直于同一个平面的两条直线平行才能正确解答此题.
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【题目】已知A、B是函数y=f(x),x∈[a,b]图象的两个端点,M(x,y)是f(x)上任意一点,过M(x,y)作MN⊥x轴交直线AB于N,若不等式|MN|≤k恒成立,则称函数f(x)在[a,b]上“k阶线性近似”.
(1)若f(x)=x+ ,x∈[ ,2],证明:f(x)在[ ,2]上“ 阶线性近似”;
(2)若f(x)=x2在[﹣1,2]上“k阶线性近似”,求实数k的最小值.
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【题目】某公司为了解用户对其产品的满意度,从某地区随机调查了100个用户,得到用户对产品的满意度评分频率分布表如下:
组别 | 分组 | 频数 | 频率 |
第一组 | (50,60] | 10 | 0.1 |
第二组 | (60,70] | 20 | 0.2 |
第三组 | (70,80] | 40 | 0.4 |
第四组 | (80,90] | 25 | 0.25 |
第五组 | (90,100) | 5 | 0.05 |
合计 | 100 | 1 |
(1)根据上面的频率分布表,估计该地区用户对产品的满意度评分超过70分的概率;
(2)请由频率分布表中数据计算众数、中位数,平均数,根据样本估计总体的思想,若平均分低于75分,视为不满意.判断该地区用户对产品是否满意?
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【题目】已知圆C:x2+y2﹣2x﹣4y+1=0.
(1)求过点M(3,1)的圆C的切线方程;
(2)若直线l:ax﹣y+4=0与圆C相交于A,B两点,且弦AB的长为 ,求a的值.
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【题目】已知命题:“x∈{x|﹣1≤x≤1},都有不等式x2﹣x﹣m<0成立”是真命题.
(1)求实数m的取值集合B;
(2)设不等式(x﹣3a)(x﹣a﹣2)<0的解集为A,若x∈A是x∈B的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
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【题目】在直角坐标系内,已知A(3,2)是圆C上一点,折叠该圆两次使点A分别与圆上不相同的两点(异于点A)重合,两次的折痕方程分别为x﹣y+1=0和x+y﹣7=0,若圆C上存在点P,使∠MPN=90°,其中M,N的坐标分别为(﹣m,0),(m,0),则实数m的取值集合为 .
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【题目】北京是我国严重缺水的城市之一.为了倡导“节约用水,从我做起”,小明在他所在学校的2000名同学中,随机调查了40名同学家庭中一年的月均用水量(单位:吨),并将月均用水量分为6组:[2,4),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12),[12,14]加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.
(Ⅰ)给出图中实数a的值;
(Ⅱ)根据样本数据,估计小明所在学校2000名同学家庭中,月均用水量低于8吨的约有多少户;
(Ⅲ)在月均用水量大于或等于10吨的样本数据中,小明决定随机抽取2名同学家庭进行访谈,求这2名同学中恰有1人所在家庭的月均用水量属于[10,12)组的概率.
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