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在直角梯形ABCD中,∠A=∠D=90°,AB<CD,SD⊥平面ABCD,AB=AD=a,S D=
2
a
,在线段SA上取一点E(不含端点)使EC=AC,截面CDE与SB交于点F.
(1)求证:四边形EFCD为直角梯形;
(2)设SB的中点为M,当
CD
AB
的值是多少时,能使△DMC为直角三角形?请给出证明.
分析:(1)由CD∥AB,AB?平面SAB,知CD∥平面SAB,面EFCD∩面SAB=EF,CD∥EF.由∠D=90°,知CD⊥AD,SD⊥面ABCD.由此能够证明EFCD为直角梯形.
(2)由题中条件可推得DM⊥SB,当
CD
AB
=2
时,△DMC为直角三角形.由AB=a,知CD=2a,BD=
AB2+AD2
=
2
a,∠BDC=450
,SD⊥平面ABCD,SD⊥BC,BC⊥平面SBD.由此结合几何知识进行求解.
解答:解:(1)∵CD∥AB,AB?平面SAB,
∴CD∥平面SAB
面EFCD∩面SAB=EF,
∴CD∥EF.
∵∠D=90°,
∴CD⊥AD,
又SD⊥面ABCD,
∴SD⊥CD,
∴CD⊥平面SAD,
∴CD⊥ED又EF<AB<CD,
∴EFCD为直角梯形.
(2)当
CD
AB
=2时,能使DM⊥MC.
∵AB=a,
CD=2a,BD=
AB2+AD2
=
2
a,∠BDC=450

BC=
2
a,BC⊥BD

∴SD⊥平面ABCD,
∴SD⊥BC,
∴BC⊥平面SBD.
在△SBD中,SD=DB,M为SB中点,
∴MD⊥SB.
∴MD⊥平面SBC,MC?平面SBC,
∴MD⊥MC,
∴△DMC为直角三角形.
点评:本题考查棱锥的结构特征,解题时要认真审题,仔细解答,注意空间几何体的合理转化.
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科目:高中数学 来源: 题型:

在直角梯形ABCD中,∠D=∠BAD=90°,AD=DC=
12
AB=a(如图),将△ADC沿AC折起,使D到D′.记面ACD′为α,面ABC为β,面BCD′为γ.
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(2)若二面角α-AC-β为60°(如图),求三棱锥D′-ABC的体积.
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AP
AB
AD
(α,β∈R)
,则α+β的取值范围是
[1,
4
3
]
[1,
4
3
]

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如图,在直角梯形ABCD中,∠BAD=90°,AD∥BC,AB=2,AD=
3
2
,BC=
1
2
,椭圆以A、B为焦点且经过点D.
(Ⅰ)建立适当的直角坐标系,求椭圆的方程;
(Ⅱ)以该椭圆的长轴为直径作圆,判断点C与该圆的位置关系.

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如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,AB=1,CD=3,S△BCD=6,则梯形ABCD的面积为
8
8
,点A到BD的距离AH=
4
5
4
5

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