Question

在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB＜CD，SD⊥平面ABCD，AB=AD=a，S D=

2

a，在线段SA上取一点E（不含端点）使EC=AC，截面CDE与SB交于点F．
（1）求证：四边形EFCD为直角梯形；
（2）设SB的中点为M，当

CD

AB

的值是多少时，能使△DMC为直角三角形？请给出证明．

Answer 1

分析：（1）由CD∥AB，AB?平面SAB，知CD∥平面SAB，面EFCD∩面SAB=EF，CD∥EF．由∠D=90°，知CD⊥AD，SD⊥面ABCD．由此能够证明EFCD为直角梯形．
（2）由题中条件可推得DM⊥SB，当

CD

AB

=2时，△DMC为直角三角形．由AB=a，知CD=2a，BD=

AB2+AD2

=

2

a，∠BDC=450，SD⊥平面ABCD，SD⊥BC，BC⊥平面SBD．由此结合几何知识进行求解．

解答：解：（1）∵CD∥AB，AB?平面SAB，
∴CD∥平面SAB
面EFCD∩面SAB=EF，
∴CD∥EF．
∵∠D=90°，
∴CD⊥AD，
又SD⊥面ABCD，
∴SD⊥CD，
∴CD⊥平面SAD，
∴CD⊥ED又EF＜AB＜CD，
∴EFCD为直角梯形．
（2）当

CD

AB

=2时，能使DM⊥MC．
∵AB=a，
∴CD=2a，BD=

AB2+AD2

=

2

a，∠BDC=450，
∴BC=

2

a，BC⊥BD，
∴SD⊥平面ABCD，
∴SD⊥BC，
∴BC⊥平面SBD．
在△SBD中，SD=DB，M为SB中点，
∴MD⊥SB．
∴MD⊥平面SBC，MC?平面SBC，
∴MD⊥MC，
∴△DMC为直角三角形．

点评：本题考查棱锥的结构特征，解题时要认真审题，仔细解答，注意空间几何体的合理转化．