Question

【题目】如图，在长方体中，，为的中点，为的中点，为线段上一点，且满足，为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）解法一： 作的中点，连接，.利用三角形的中位线证得，利用梯形中位线证得，由此证得平面平面，进而证得平面.解法二：建立空间直角坐标系，通过证明直线的方向向量和平面的法向量垂直，证得平面.

（2）利用平面和平面法向量，计算出二面角的余弦值.

（1）法一：作的中点，连接，.又为的中点，∴为的中位线，∴，又为的中点，∴为梯形的中位线，∴，在平面中，，在平面中，，∴平面平面，又平面，∴平面.

另解：（法二）∵在长方体中，，，两两互相垂直，建立空间直角坐标系如图所示，

则，，，

，，，

，，，

，，.

（1）设平面的一个法向量为，

则，

令，则，.∴，又，

∵，，又平面，平面.

（2）设平面的一个法向量为，

则，

令，则，.∴.

同理可算得平面的一个法向量为

∴，

又由图可知二面角的平面角为一个钝角，

故二面角的余弦值为.