Question

已知F₁，F₂是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F₁PF₂=

π

3

，则椭圆和双曲线的离心率的乘积的最小值为（　　）

• A、

  3

  3

• B、

  3

  2

• C、

  3

• D、2

  3

Answer 1

考点：双曲线的简单性质,椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先设椭圆的长半轴长为a₁，双曲线的半实轴长a₂，焦距2c．因为涉及椭圆及双曲线离心率的问题，所以需要找a₁，a₂，c之间的关系，而根据椭圆及双曲线的定义可以用a₁，a₂表示出|PF₁|，|PF₂|，在△F₁PF₂中根据余弦定理可得到：

1

e12

+

3

e22

=4，利用基本不等式可得结论．

解答： 解：如图，设椭圆的长半轴长为a₁，双曲线的半实轴长为a₂，则根据椭圆及双曲线的定义：
|PF₁|+|PF₂|=2a₁，|PF₁|-|PF₂|=2a₂，
∴|PF₁|=a₁+a₂，|PF₂|=a₁-a₂，
设|F₁F₂|=2c，∠F₁PF₂=

π

3

，则：
在△PF₁F₂中由余弦定理得，
4c²=(a1+a2)2+(a1-a2)2-2(a1+a2)(a1-a2)cos

π

3

∴化简得：a12+3a22=4c2，
该式可变成：

1

e12

+

3

e22

=4，
∴

1

e12

+

3

e22

=4≥

2 3

e1e2

∴e₁e₂≥

3

2

，
故选B．

点评：本题考查圆锥曲线的共同特征，考查通过椭圆与双曲线的定义求焦点三角形三边长，解决本题的关键是根据所得出的条件灵活变形，求出焦点三角形的边长来．