Question

【题目】有5个匣子，每个匣子有一把钥匙，并且钥匙不能通用．如果随意在每一个匣内放入一把钥匙，然后把匣子全都锁上．现在允许砸开一个匣子，使得能相继用钥匙打开其余4个匣子，那么钥匙的放法有______种．

Answer 1

【答案】

【解析】

首先，在砸开的匣子中必放有另一个匣子的钥匙，在匣子中又放有匣子的钥匙，在匣子中放有匣子的钥匙，在匣子中放有匣子的钥匙，在匣子中放有被砸开的匣子的钥匙．记这个砸开的匣子为．这就相当于1，2，3，4，5形成一个环状排列．

反过来，对由1，2，3，4，5排成的每一种环状排列，也就可以对应成一种相继打开各个匣子的一种放钥匙的方法．先让5个匣子沿着圆环对号入座，再在每个匣子中放入其下方的匣子的钥匙（如图），这就得到一种相继打开各个匣子的放钥匙的方法．所以，可使所有匣子相继打开的放钥匙的方法数恰与1，2，3，4，5的环状排列数相等．

由于每个环状排列（如图）可以剪开拉直为5个排列：，，，，；，，，，；，，，，；，，，，；，，，，．

反之，5个这样的排列对应着一个环状排列，因而5个元素的环状排列数为（种）．

一般地，个元素的环状排列数为种．