【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,侧面PAB⊥底面ABCD,△PAB为正三角形.AB⊥AD,CD⊥AD,点E、M为线段BC、AD的中点,F,G分别为线段PA,AE上一点,且AB=AD=2,PF=2FA.
(1)确定点G的位置,使得FG∥平面PCD;
(2)试问:直线CD上是否存在一点Q,使得平面PAB与平面PMQ所成锐二面角的大小为30°,若存在,求DQ的长;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)解:在AD上取AN= AD,过N作NG∥DC,交AE于G,连结FG,FN,
∵PF=2FA.可得FA= PA,所以FN∥PD,又NG∥DC,FN∩NG=N,PD∩DC=D,
可得平面FNG∥平面PCD,FG平面FNG,所以FG∥平面PCD
(2)解:作PO⊥AB于O,BA所在直线为x轴,OP所在直线为z轴,在平面ABCD内作AB的垂线为y轴,如图:平面PAB的法向量为: =(0,1,0),
A(1,0,0),Q(λ,2,0),M(1,1,0),P(0,0, ),
则 =(﹣1,﹣1, ), =(λ﹣1,1,0),
设平面PMQ的法向量为: =(x,y,z),
由 ,可得: ,令x=1,则y=1﹣λ,z= ,
平面PAB与平面PMQ所成锐二面角的大小为30°,
可得:cos30°= = = ,
解得λ=3或 .
此时DQ=2在CD的延长线上,或DQ= 在CD线段上.
【解析】(1)在AD上取AN= AD,过N作NG∥DC,交AE于G,连结FG,FN,利用平面与平面平行的判定定理证明平面FNG∥平面PCD,推出FG∥平面PCD.(2)作PO⊥AB于O,BA所在直线为x轴,OP所在直线为z轴,在平面ABCD内作AB的垂线为y轴,求出平面PAB的法向量,平面PMQ的法向量,利用平面PAB与平面PMQ所成锐二面角的大小为30°,求解得λ推出CD的大小.
【考点精析】本题主要考查了直线与平面平行的判定的相关知识点,需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行才能正确解答此题.
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【题目】某设备的使用年数x与所支出的维修总费用y的统计数据如下表:
使用年数x(单位:年) | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
维修费用y(单位:万元) | 1.5 | 4.5 | 5.5 | 6.5 | 7.0 |
根据上标可得回归直线方程为 =1.3x+ ,若该设备维修总费用超过12万元,据此模型预测该设备最多可使用年.
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【题目】下列命题中,正确的命题有__________.
①回归直线恒过样本点的中心,且至少过一个样本点;
②将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后,方差不变;
③用相关指数来刻面回归效果;表示预报变量对解释变量变化的贡献率,越接近于1,说明模型的拟合效果越好;
④若分类变量和的随机变量的观测值越大,则“与相关”的可信程度越小;
⑤.对于自变量和因变量,当取值一定时, 的取值具有一定的随机性, , 间的这种非确定关系叫做函数关系;
⑥.残差图中残差点比较均匀的地落在水平的带状区域中,说明选用的模型比较合适;
⑦.两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,曲线C的方程为y=3+ .
(1)写出曲线C的一个参数方程;
(2)在曲线C上取一点P,过点P作x轴,y轴的垂线,垂足分别为A,B,求矩形OAPB的周长的取值范围.
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【题目】如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB⊥平面BB1C1C,∠BCC1= ,AB=BB1=2,BC=1,D为CC1中点.
(1)求证:DB1⊥平面ABD;
(2)求二面角A﹣B1D﹣A1的平面角的余弦值.
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【题目】数列{an}中,a1=2, (n∈N*).
(1)证明数列 是等比数列,并求数列{an}的通项公式;
(2)设 ,若数列{bn}的前n项和是Tn , 求证: .
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