Question

已知双曲线x²-y²=2，过定点P（2，0）作直线l与双曲线有且只有一个交点，则这样的直线l的条数为（　　）

A．1条

B．2条

C．3条

D．4条

Answer 1

分析：设直线l的方程为y=k（x-2），与双曲线的方程联立转化为分类讨论其解的情况，即可得出．

解答：解：如图所示．
由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x-2），
联立

y=k(x-2) x2-y2=2

，化为（1-k²）x²+4k²x-4k²-2=0，
①当1-k²=0时，解得k=±1，得到直线l：y=±（x-2），分别与渐近线y=±x平行，因此与双曲线只有一个交点，满足题意；
②当1-k²≠0时，由△=16k⁴-4（1-k²）（-4k²-2）=0，解得k=±

3

3

．
得到直线l：y=±

3

3

(x-2)，此时直线l分别与双曲线的作支相切，故只有一个交点．
综上可知：过定点P（2，0）作直线l与双曲线有且只有一个交点的这样的直线l只有4条．
故选D．

点评：本题考查了直线与双曲线的位置关系转化为方程联立利用△分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于难题．