Question

已知直L₁：2x-y=0，L₂：x-2y=0．动圆（圆心为M）被L₁L₂截得的弦长分别为8，16．
（Ⅰ）求圆心M的轨迹方程M；
（Ⅱ）设直线y=kx+10与方程M的曲线相交于A，B两点．如果抛物y²=-2x上存在点N使得|NA|=|NB|成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设M（x，y），M到L₁，L₂的距离分别为d₁，d₂，则d₁²+4²=d₂²+8²．所以|

2x-y

5

|2-|

x-2y

5

|2=48，由此能求出圆心M的轨迹方程．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y=kx+10 x2-y2=80

，得（1-k²）x²-20kx-180=0．AB的中点为(

10k

1-k2

，

10

1-k2

)，AB的中垂线为y-

10

1-k2

=-

1

k

(x-

10k

1-k2

)，由

y2=-2x y=- 1 k x+ 20 1-k2

，得y2-2ky+

40k

1-k2

=0．由此能求出k的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）设M（x，y），M到L₁，L₂的距离分别为d₁，d₂，则d₁²+4²=d₂²+8²．…（2分）
∴|

2x-y

5

|2-|

x-2y

5

|2=48，
∴x²-y²=80，即圆心M的轨迹方程M：x²-y²=80．  …（4分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y=kx+10 x2-y2=80

，
得（1-k²）x²-20kx-180=0．        ①
∴AB的中点为(

10k

1-k2

，

10

1-k2

)，…（6分）
∴AB的中垂线为y-

10

1-k2

=-

1

k

(x-

10k

1-k2

)，即y=-

1

k

x+

20

1-k2

，…（7分）
由

y2=-2x y=- 1 k x+ 20 1-k2

，得y2-2ky+

40k

1-k2

=0      ②…（8分）
∵存在N使得|NA|=|NB|成立的条件是：①有相异二解，并且②有解． …（9分）
∵①有相异二解的条件为

1-k2≠0 (-20k)2-4(1-k2)×(-180)＞0

，
∴

k2≠ 1 k2＜ 9 4

?-

3

2

 ＜k＜

3

2

且k≠±1．③…（10分）
②有解的条件是V=4k2-4×

40k

1-k2

≥0，∴

k

k2-1

(k3-k+40)≥0，④…（11分）
根据导数知识易得-

3

2

＜k＜

3

2

时，k³-k+40＞0，
因此，由③④可得N点存在的条件是：-1或1＜k＜

3

2

．   …（12分）

点评：本题主要考查双曲线标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．