Question

15．设函数G（x）=xlnx+（1-x）ln（1-x）．
（1）求G（x）的最小值：
（2）记G（x）的最小值为e，已知函数f（x）=2a•e^x+1+$\frac{a+1}{x}$-2（a+1）（a＞0），若对于任意的x∈（0，+∞），恒有f（x）≥0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的最小值，结合题意从而求出a的范围即可．

解答 解：（1）由已知得$0＜x＜1，G'（x）=lnx-ln（{1-x}）=ln\frac{x}{1-x}$…（1分）
令G'（x）＜0，得$0＜x＜\frac{1}{2}$；令G'（x）＞0，得$\frac{1}{2}＜x＜1$，
所以G（x）的单调减区间为$（{0，\frac{1}{2}}）$，单调增区间为$（{\frac{1}{2}，1}）$…（3分）
从而$G{（x）_{min}}=G（{\frac{1}{2}}）=ln\frac{1}{2}=-ln2$…（4分）
（2）由（1）中c=-ln2得$f（x）=a•{e^x}+\frac{a+1}{x}-2（{a+1}）$…（5分）
所以$f'（x）=\frac{{a{x^2}•{e^x}-（{a+1}）}}{x^2}$…（6分）
令g（x）=ax²•e^x-（a+1），则g'（x）=ax（2+x）e^x＞0…（7分）
所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，
因为g（0）=-（a+1），且当x→+∞时，g（x）＞0，
所以存在x₀∈（0，+∞），使g（x₀）=0，
且f（x）在（0，x₀）上单调递减，在（x₀，+∞）上单调递增…（8分）
因为$g（{x_0}）=ax_0^2•{e^{x_0}}-（{a+1}）=0$，所以$ax_0^2•{e^{x_0}}=a+1$，
即$a•{e^{x_0}}=\frac{a+1}{x_0^2}$，因为对于任意的x∈（0，+∞），恒有f（x）≥0成立，
所以$f{（x）_{min}}=f（{x_0}）=a•{e^{x_0}}+\frac{a+1}{x_0}-2（{a+1}）≥0$…（9分）
所以$\frac{a+1}{x_0^2}+\frac{a+1}{x_0}-2（{a+1}）≥0$，即$\frac{1}{x_0^2}+\frac{1}{x_0}-2≥0$，
亦即$2x_0^2-{x_0}-1≤0$，所以$-\frac{1}{2}≤{x_0}≤1$…（10分）
因为$ax_0^2•{e^{x_0}}=a+1$，所以$x_0^2•{e^{x_0}}=\frac{a+1}{a}＞1$，
又x₀＞0，所以0＜x₀≤1，从而$x_0^2•{e^{x_0}}≤e$，
所以$1＜\frac{a+1}{a}≤e$，故$a≥\frac{1}{e-1}$…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．