Question

【题目】（1）.公路上、两镇相距5公里，、往外各有两条叉路成形状，计划在每条叉路上各建一加油站，要求每个站到、镇及其他站（沿公路进过、镇）距离互不相同，且距离均为整数公里，最长不超过15公里，此计划能否实现？

（2）.若、向外各有3条叉路，欲建六个加油站，依然要求站与镇，站与站之间距离互不相同且为整数公路，最长者不超过28公里，能否实现？为什么？

Answer 1

【答案】(1)能(2)不能

【解析】

（1）两叉路情况可以实现.

如图所示：

其四站两镇间有种距离恰好互不相同，分别为公里.

（2）三叉路情况不能实现，假设图中六站合要求，

到、距离为、、、、、，因有种不同距离，

其总和为（公里）.

在总和中，、、、、、各被计算7次，而，则共被计算16次，

故有等式，

由上式有这不成立，故不能实现.

注：上述方法在（公里）时，不适用（∵成立），其实，对为任意给定距离均不可实现.

下面介绍普遍证法：

设六个站建成如图.

在点记“”号，凡到距离为偶数公里的点均记“”号，凡到为奇数公里的点均记“”号，

于是，、及六个站均记上“”或“”号，且同号两点距离为偶数，异号两点间距离为奇数，设有个“”号，个“”号，

则， ①

又因奇数距离共个，而间奇数有14个，

于是，， ②

但满足方程组①②的整数解、不存在，

故三叉路修站计划不能实现.