Question

（2011•海淀区二模）在平面直角坐标系xOy中，设点P（x，y），M（x，-4）以线段PM为直径的圆经过原点O．
（1）求动点P的轨迹W的方程；
（2）过点E（0，-4）的直线l与轨迹W交于两点A，B，点A关于y轴的对称点为A^′，试判断直线A^′B是否恒过一定点，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）根据点P（x，y），M（x，-4）以线段PM为直径的圆经过原点O，可知OP⊥OM，所以

OP

•

OM

=0，即（x，y）•（x，-4）=0，化简可得动点P的轨迹W的方程；
（2）直线l与轨迹W的方程联立，进而可求直线A^′B的方程，由此，可判断是否恒过一定点

解答：解：（1）由题意可得OP⊥OM，所以

OP

•

OM

=0，即（x，y）•（x，-4）=0
即x²-4y=0，即动点P的轨迹w的方程为x²=4y
（2）设直线l的方程为y=kx-4，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则A′（-x₁，y₁）．
由

y=kx-4 x2=4y

消y整理得x²-4kx+16=0
则x₁+x₂=4k，x₁x₂=16
直线A /B：y-y2=

y2-y1

x2+x1

(x-x2)
∴y =

y2-y1

x2+x1

(x-x2)+y2
∴y =

x2-x1

4

x+

x1x2

4

即y =

x2-x1

4

x+4，所以，直线A′B恒过定点（0，4）．

点评：本题以轨迹为载体，考查曲线方程，考查直线与曲线的位置关系，同时考查直线恒过定点问题，有一定的综合性．