A. | ($\frac{1}{4}$,$\frac{1}{3}$) | B. | [$\frac{1}{4}$,$\frac{1}{3}$) | C. | (-∞,$\frac{1}{3}$) | D. | [$\frac{1}{4}$,+∞) |
分析 先设${∫}_{0}^{1}$f(x)dx=c,再求导得到f(x)=f′(1)x2+2cx+1,令x-1,得到f′(1)=-2c,继而得到f(x),再根据定积分的计算,求出c的值,继而求出f(x)=-3x2+3x+1,根据二次函数的性质即可求出a的取值范围.
解答 解:设${∫}_{0}^{1}$f(x)dx=c,
∴f(x)=f′(1)x2+2cx+1,
∴f′(x)=f′(1)2x+2c,
∴f′(1)=2f′(1)+2c,
∴f′(1)=-2c,
∴f(x)=-2cx2+2cx+1,
∴${∫}_{0}^{1}$f(x)dx=${∫}_{0}^{1}$(-2cx2+2cx+1)dx=(-$\frac{2}{3}$cx3+cx2+x)|${\;}_{0}^{1}$=-$\frac{2}{3}$c+c+1=c,
解得c=$\frac{3}{2}$,
∴f′(1)=-2c=-3,
∴f(x)=-3x2+3x+1,
∴函数f(x)的对称轴为x=$\frac{1}{2}$,且开口向下,
∴f(x)在(-∞,$\frac{1}{2}$)上单调递增,
∵f(x)在区间(a,1-2a)上单调递增,
∴$\left\{\begin{array}{l}{a<1-2a}\\{1-2a≤\frac{1}{2}}\end{array}\right.$,
解得$\frac{1}{4}$≤a<$\frac{1}{3}$,
故选:B.
点评 本题考查了定积分的计算,二次函数的单调性,关键是换元,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{1}{4}$ | B. | $\frac{3}{8}$ | C. | $\frac{5}{8}$ | D. | $\frac{3}{4}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 奇函数 | B. | 偶函数 | ||
C. | 既是奇函数又是偶函数 | D. | 既不是奇函数也不是偶函数 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | ①② | B. | ③④ | C. | ② | D. | ②④ |
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