Question

【题目】已知首项为1的正项数列{an}满足an+12+an2＜ ，n∈N* ， Sn为数列{an}的前n项和．
（1）若a2= ，a3=x，a4=4，求x的取值范围；
（2）设数列{an}是公比为q的等比数列，若 ＜Sn+1＜2Sn ， n∈N* ， 求q的取值范围；
（3）若a1 ， a2 ， …，ak（k≥3）成等差数列，且a1+a2+…+ak=120，求正整数k的最小值，以及k取最小值时相应数列a1 ， a2 ， …，ak ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵首项为1的正项数列{an}满足an+12+an2＜ ，n∈N*，化为（2an+1﹣an）（an+1﹣2an）＜0，

∴ ＜2．

又a2= ，a3=x，a4=4，

∴ ， ，

解得：2＜x＜3．

∴x的取值范围是（2，3）

（2）解：由于首项为1的正项数列{an}，

∵ ＜2．∴ ．

①q=1时，n=1时不满足： ＜Sn+1＜2Sn，n∈N*，因此q≠1．

②可得 ＜2 ，

＜q＜1时，化为2qn+1﹣qn＜1，qn+1﹣2qn+1＞0，由于qn（2q﹣1）＜1，因此2qn+1﹣qn＜1恒成立；由qn＜q，可得q2n＜qn+1，∴qn ，∴2qn ＜1+qn+1，因此qn+1﹣2qn+1＞0恒成立，可得： ＜q＜1．

2＞q＞1时，化为2qn+1﹣qn﹣1＞0，qn+1﹣2qn+1＜0，无解，舍去．

综上可得： ＜q＜1

（3）解：设首项为1的正项数列{an}的公差为d，d≥0，

由 ＜2，可得 ＜ ＜2，

化为1+（n﹣1）d＜2（1+nd）＜4[1+（n﹣1）d]，

n=1时，0≤d＜1；n=2时，d≥0；

n≥3时，d≥0．

综上可得：0≤d＜1．

∵a1，a2，…，ak（k≥3）成等差数列，a1+a2+…+ak=120，

∴k+ d=120，

k=1时，不成立，舍去．

k≥2时，解得d= ，

∵0≤d＜1．

∴0≤ ＜1．

解得：15＜k≤120．

∴满足条件的正整数k的最小值为16，此时d= ，

相应数列的通项公式为：an=1+ （n﹣1）= ．

数列为：1，

【解析】（1）首项为1的正项数列{an}满足an+12+an2＜ ，n∈N* ， 化为（2an+1﹣an）（an+1﹣2an）＜0，解得： ＜2．又a2= ，a3=x，a4=4，代入解出即可得出．（2）由于首项为1的正项数列{an}，由于 ＜2．可得 ．对q分类讨论：q=1时，n=1时不满足条件，因此q≠1．②由 ＜2 ， ＜q＜1时，经过验证成立： ＜q＜1.2＞q＞1时，化为2qn+1﹣qn﹣1＞0，qn+1﹣2qn+1＜0不成立，舍去．（3）设首项为1的正项数列{an}的公差为d，d≥0，由 ＜2，化为1+（n﹣1）d＜2（1+nd）＜4[1+（n﹣1）d]．分类讨论：n=1时，n=2时，n≥3时，可得：0≤d＜1．根据a1 ， a2 ， …，ak（k≥3）成等差数列，a1+a2+…+ak=120，可得k+ d=120，k=1时，不成立，舍去．k≥2时，解得d= ，代入解得：15＜k≤120．即可得出．
【考点精析】通过灵活运用等比数列的通项公式（及其变式）和数列的前n项和，掌握通项公式：；数列{an}的前n项和sn与通项an的关系即可以解答此题．