Question

9．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的方程为2x+（k-3）y-2k+6=0，k∈R．
（1）若直线l在x轴，y轴上的截距之和为1，求坐标原点O到直线l的距离；
（2）求坐标原点O到直线l距离的最大值；
（3）若直线l与直线l₁：2x-y-2=0和l₂：x+y+3=0分别相交于A，B两点，点P（0，2）到A，B两点的距离相等，求k的值．

Answer 1

分析 直线l的方程为2x+（k-3）y-2k+6=0，k∈R．化为（2x-3y+6）+k（y-2）=0．
联立$\left\{\begin{array}{l}{2x-3y+6=0}\\{y-2=0}\end{array}\right.$，解得定点P（0，2）．
（1）设直线l的方程为：$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}$=1，则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{b}=1}\\{a+b=1}\end{array}\right.$，解得a，b，可得直线l的方程，再利用点到直线的距离公式公式即可得出；
（2）由于直线l的方程2x+（k-3）y-2k+6=0，k∈R，经过定点P（0，2）．即可得出坐标原点O到直线l距离的最大值．
（3）设A（s，t），由于点P在已知直线l上，且点P（0，2）到A，B两点的距离相等，利用中点坐标公式可得B（-s，4-t）．联立$\left\{\begin{array}{l}{2s-t-2=0}\\{-s+4-t+3=0}\end{array}\right.$，解得即可得出．

解答 解：直线l的方程为2x+（k-3）y-2k+6=0，k∈R．化为（2x-3y+6）+k（y-2）=0．
联立$\left\{\begin{array}{l}{2x-3y+6=0}\\{y-2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=2}\end{array}\right.$，即过定点P（0，2）．
（1）设直线l的方程为：$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}$=1，则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{b}=1}\\{a+b=1}\end{array}\right.$，解得b=2，a=-1．
∴直线l的方程为：$\frac{x}{-1}+\frac{y}{2}$=1，化为2x-y+2=0．
∴坐标原点O到直线l的距离d=$\frac{|0+2|}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
（2）由于直线l的方程2x+（k-3）y-2k+6=0，k∈R，经过定点P（0，2）．
∴坐标原点O到直线l距离的最大值为2．
（3）设A（s，t），∵点P在已知直线l上，且点P（0，2）到A，B两点的距离相等，
∴B（-s，4-t）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{2s-t-2=0}\\{-s+4-t+3=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{s=3}\\{t=4}\end{array}\right.$，∴A（3，4）．
代入直线l的方程2x+（k-3）y-2k+6=0，可得2×3+4（k-3）-2k+6=0，
解得k=0．

点评 本题考查了直线的交点坐标、直线过定点问题、点到直线的距离公式、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．